теорвер: найти плотность произведения двух случайных величин

[vladiko]

Всем доброго времени дня. Помогите пожалуйста разобраться.
Дана функция плотности $f_{X,Y}(x, y) = 4x/y^3$, $0<x<1$ , $y>1$.
Требуется найти функцию плотности нового переменного $Z=XY$.
$X$, $Y$- независимые переменные.
Попытка:
По аналогии с $f_{X+Y}(u)=(f_X*f_Y)(u)$ , тогда $f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z/t)f_Y(t)dt$.
Только вот с пределами интегрирования не могу разобраться, как-то не выходит. укажите на ошибки. Спасибо за помощь.

[мат-ламер]

А не проще ли искать функцию распределения, а не плотность? Её можно найти как двойной интеграл от двухмерной плотности. В Вашей аналогии я ничего не понял. Вы в ней уверены? Я что-то сомневаюсь.

[vladiko]

Можно по поподробнее как найти функцию распределения $Z$.
Аналогию я взял из доказательства что функция плотности суммы двух независимых переменных равна свёртке их функций плотности.

[_hum_]

$F_Z(z) = \mathbf{P}(Z\leq z) = \mathbf{P}(XY \leq z) = \dots$
Продолжите дальше, используя известную плотность совместного распределения $f_{X,Y}$.

-- Вс июл 31, 2011 22:11:31 --

Цитата:

Аналогию я взял из доказательства что функция плотности суммы двух независимых переменных равна свёртке их функций плотности.

Формула свертки справедлива только для суммы независимых с.в. У вас же произведение (можно, конечно, перейти к логарифмам, тем самым вместо произведения получив сумму, но, думаю, это более утомительно получится, чем предложенный мат-ламер подход).

[vladiko]

Проверьте пожалуйста если правильно продолжил.
$F_Z(z)=P(XY<z)=P(x<z/y)=\int_{1}^{\infty}dy\int_{0}^{z/y}f_{X,Y}(x,y)dx=z^2/2$, тогда $f_{X,Y}(x,y,)=z$.

[_hum_]

Ну, немного некорректно у себя написали. Надо бы было либо сразу через повторный интеграл писать, либо через эту цепочку:
$\mathbf{P}(XY \leq z) = P_{X,Y}(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy \leq z\}) = \int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy \leq z\}}dP_{X,Y} = \int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy \leq z\}}f_{X,Y}(x,y)dxdy = \dots$.

А так, если правильно посчитали интеграл (там осторожно надо с областями, где плотность в нуль обращается), то все должно быть верно.

-- Вс июл 31, 2011 23:25:19 --

Чтоб ничего не упустить, лучше напрямую записать с уловиями на область определения(носитель) плотности :
$\int_{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy \leq z, 0<x<1, y > 1\}}f_{X,Y}(x,y)dxdy$
и только после этого переходить к повторному.

[vladiko]

Всем спасибо, всё получилось.

[--mS--]

vladiko в сообщении #472446 писал(а):

По аналогии с $f_{X+Y}(u)=f_X*f_Y(u)$ , тогда $f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z/t)f_Y(t)dt$.

Если по аналогии, то вот так:

$$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z/t)f_Y(t)\dfrac{1}{|t|}\,dt.$$

Так же как

$$f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(zt)f_Y(t)|t|\,dt.$$

Поскольку производная не меняется при сдвиге (в формуле свёртки), но меняется при растяжении.

С пределами тут всё просто: $f_Y(t) > 0$ при $t > 1$, $f_X(z/t) > 0$ при $0<z/t<1$, т.е. при $t>z$.
Пересечение областей $t>1$ и $t >z$ даёт нужную область интегрирования. При $z > 1$ - одна область, при $z \leqslant 1$ - другая.

У Вас получилась разная плотность при $z > 1$ и $z \leqslant 1$?

[vladiko]

Да, получилась разная плотность при $0<z<1$ и $z>1$

[AlexValk]

1. Ваши слова

Цитата:

... $X$, $Y$- независимые переменные. ...

излишни, поскольку совместная плотность распределения $f_{X,Y}(x, y)$ факторизуется в виде произведения $f_X(x)f_Y(y)$, где функция $f_X(x)=4x $, $0<x<1$, зависит лишь от переменной $x$, а функция $f_Y(y)=y^{-3}$, $y>1$ – лишь от переменной $Y$. Такая факторизация равносильна независимости $X$ и $Y$.

2. Прямой способ найти плотность случайной величины $Z=A(X,Y)$ по совместной плотности $f_{X,Y}(x, y)$ (неважно, зависимых или независимых величин $X,Y$) – использовать $\delta$-функцию Дирака:

$$f_{ A(X,Y)}(z)=\int \delta(z-A(x,y)) f_{X,Y}(x, y) dx dy.$$

В Вашем случае имеем
\begin{multline*}f_{XY}(z)=\int_1^\infty \int_0^1\delta(z-xy) \frac{4x}{y^3} \textrm{d}x \textrm{d}y \stackrel{t=xy}{=} \int_1^\infty \int_0^y\delta(z-t) \frac{4t}{y^5} \textrm{d}t \textrm{d}y= 4z \theta(z)\int_1^\infty \theta(y-z) y^{-5} \textrm{d}y=\\= 4z \theta(z)\int_{\max(z,1)}^\infty y^{-5} \textrm{d}y = \theta(z)\frac{z}{\max^4(z,1)}\equiv\begin{cases}0, & z<0,\\ z, & z\in [0;\,1],\\ 1/z^3 & z>1. \end{cases}\end{multline*}
Здесь $\theta(z)=\begin{cases}1, & z>0, \\ 0, & z \leq 0\end{cases}$ - функция Хевисайда. Она, также как и символ $\max(z,1)$, использовалась лишь для того, чтобы "укомпактить" разбор разных случаев.

[vladiko]

AlexValk
Спасибо за такой развёрнутый ответ.Не могли бы посоветовать литературу где указывается данная формула. Как я понимаю ,что это некое обобщение способа предложенного мат-ламер.
--mS--
Да , вы , безусловно правы. Это я забыл про Якобиан.