Задача про вагоныи пассажиров (ТВ)

[tess]

Повторяю бегущему по волнам, что я считал пассажиров одинаковыми. После этого присылать ответ, что вероятность равна не 1 к 3, значит принимать другого за лоха. Кстати, человеку свойственно считать пассажиров одинаковыми, равными. Да и в комбинаторике так: брошены два кубика, для выпавшей двойки имеется только один вариант 1+1, хотя кубики физически разные. Или для 3 в числе слагаемых 1+1+1 считается как один вариант, а 2+1 и 1+2 считают и так и так. Идёт ли речь о трёх одинаковых электронах или о трёх разных яблоках.
Больше писать не буду, здоровья.

[alex1910]

Tess, видимо Вы из той [немалочисленной] породы людей, что не в состоянии разобраться с элементарной теорией вероятностей. Так что займитесь чем-нибудь более Вам подходящим.

[alex1910]

alex1910 в сообщении #470855 писал(а):

Tess, видимо Вы из той [немалочисленной] породы людей, что не в состоянии разобраться с элементарной теорией вероятностей. Так что займитесь чем-нибудь более Вам подходящим.

UPD. Если есть два человека и два вагона, то есть три исхода:

1 - все в первом вагоне - вероятность 1/4;
2 - все во втором вагоне - вероятность 1/4;
3 - по одному человеку в каждом из вагонов - вероятность 1 - 1/4 - 1/4 = 1/2.

По-вашей странной логике вероятность того, что случится исход 1 или 2 равна 1/3. Ок, но первый и второй исходы равновероятны, так что, исходя из Вашего заявления, P1 = 1/6, P2=1/6, P3=2/3. А теперь посчитайте явно вероятность того, что все в первом вагоне - уверен, что даже с Вашей логикой 1/6 Вам получить не удастся никак.

Да, отвечать не буду. Если очень надо - пишите в личку.

[--mS--]

alex1910 в сообщении #470875 писал(а):

UPD. Если есть два человека и два вагона, то есть три исхода:

1 - все в первом вагоне - вероятность 1/4;
2 - все во втором вагоне - вероятность 1/4;
3 - по одному человеку в каждом из вагонов - вероятность 1 - 1/4 - 1/4 = 1/2.

По-вашей странной логике вероятность того, что случится исход 1 или 2 равна 1/3.

Это - не странная логика. Вы действительно не понимаете, что такое размещение неразличимых шаров по различимым ячейкам, или просто так спорите? При таком размещении по определению есть три (а не 4) равновероятных исхода (перечисленных Вами выше), вероятность каждого из которых - одна треть. А в исходной задаче при размещении неразличимых пассажиров ответ - $1/11$.

(Оффтоп)

Другое дело, что когда говорят "шары наудачу размещаются по ящикам", априори предполагается, что каждый шар, независимо от прочих, имеет равные шансы оказаться в любом ящике. Т.е. что и шары и ящики различимы.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #470956 писал(а):

Другое дело, что когда говорят "шары наудачу размещаются по ящикам", априори предполагается, что каждый шар, независимо от прочих, имеет равные шансы оказаться в любом ящике.

А оно ровно так и предполагается. Что шары ( в смысле мемберы) ровно произвольно выбирают, в какую лунку им упасть.

Во всяком случае, нкакой более разумной интерпретации эта задачка не поддаётся.

[alex1910]

--mS-- , полагаю это Вы чего-то не понимаете.

Я знаю, что такое различимые и неразличимые, вот только в данной конкретной задаче это неприменимо и ответ ровно такой, как я написал (как в исходной задаче с кучей людей и тремя вагонами, так и в ее редукции 2*2).

Если Вы хотите поговорить, расскажите всем, как у Вас получилось по одной трети. Полагаю, ewert любезно укажет Вам на ошибку в Ваших рассуждениях (я от дальнейшего обсуждения этой элементарной темы самоустраняюсь).

Уважаемый ewert! Если --mS-- порадует публику и расскажет про одну третью, сделайте одолжение, укажите ему на ошибку. Заранее благодарен.

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #470958 писал(а):

А оно ровно так и предполагается. Что шары ( в смысле мемберы) ровно произвольно выбирают, в какую лунку им упасть.

Замечательно. Только не поняла смысл повторять только что сказанное. Кстати, Вы опустили слова "независимо от прочих" - действительно считаете, что они тут лишние?

-- Пн июл 25, 2011 02:50:19 --

alex1910 в сообщении #470966 писал(а):

--mS-- , полагаю это Вы чего-то не понимаете.

Сударь, Вы меня бесконечно радуете

alex1910 в сообщении #470966 писал(а):

Я знаю, что такое различимые и неразличимые, вот только в данной конкретной задаче это неприменимо и ответ ровно такой, как я написал (как в исходной задаче с кучей людей и тремя вагонами, так и в ее редукции 2*2).

Да нет, не знаете, увы. Про "применимо или нет", речи не шло и не идёт. Ваш оппонент прямо указал, в какой постановке задачи он вычисляет вероятность. И всё равно Вы почему-то полагаете, что перестать различать шары - значит просто склеить вероятности у исходов, отличающихся порядком номеров шаров. Вы думаете, что сначала была классическая схема с $n^k$ равновероятными исходами, а потом исходы стали неравновозможными из-за того, что перестали различать номера.
Всё не так. Объясняю. Неразличимость шаров при их размещении по различным ящикам означает, что равновероятными считаются размещения, отличающиеся количествами шаров в ящиках, а не их номерами. Это другая схема в рамках классической вероятности. Только равновозможных исходов в ней $\binom{n+k-1}{k}$. Это в точности число размещений $k$ неразличимых шаров по $n$ разным ящикам.
Иначе говоря, при размещении двух неразличимых шаров по двум разным ящикам равновероятны те самые три исхода, что Вы выше перечисляли. Отказ изначально различать шары подразумевает, что эти размещения считаются равновозможными.

[alex1910]

Пока ewert-у работы нет, ибо написанное --mS-- -ом - это не решение задачи по теории вероятностей, а какой-то поток сознания.

С какой стати надо что-то считать, схемы какие-то. Неужели Вам хотя бы интуитивно не понятно, что при равновероятном размещении публики по вагонам наибольшая вероятность будет у исхода, близкого к равномерному размещению по вагонам; а наименьшая - у экстремальных случаев, когда вся толпа набилась в один вагон? Неужели не понятно, что если все элементарные вероятности в задаче 1/2 и вагонов/людей тоже два, то в ответе не может быть нецелой вероятности с нечетным знаменателем - просто из арифметических соображений?

На этом окончательно перестаю писать в этой ветке, а Вы, --mS--, предъявите, пожалуйста, Ваше решение, где будет фигурировать 1/3. Как полагается - с каким-нибудь завалящим вероятностным пространством, или, если захотите, то хоть с сигма-алгебрами или еще каким общепринятым в математике методом. Только без заклинаний, что что-то равновероятно по постановлению ВЦСПС.

Заранее извиняюсь за резкость.

[--mS--]

alex1910 в сообщении #471000 писал(а):

Неужели Вам хотя бы интуитивно не понятно, что при равновероятном размещении публики по вагонам

Сударь, Вы зациклились на исходной задаче. А она уже давно иная: пассажиры неразличимы. Успокойтесь, я и в той, и в другой постановке такие элементарные задачи решать умею, и делать это в этой ветке, дано помещённой за полной ясностью в данный раздел, никакой нужды нет. Пытаюсь Вам объяснить, чем отличается урновая схема с различимыми шарами от схемы с неразличимыми. Пока безуспешно.

alex1910 в сообщении #471000 писал(а):

На этом окончательно перестаю писать в этой ветке, а Вы, --mS--, предъявите, пожалуйста, Ваше решение, где будет фигурировать 1/3. Как полагается - с каким-нибудь завалящим вероятностным пространством, или, если захотите, то хоть с сигма-алгебрами или еще каким общепринятым в математике методом. Только без заклинаний, что что-то равновероятно по постановлению ВЦСПС.

Уже трижды предъявлено. Вероятностное пространство $\langle\Omega,\mathcal F,\mathsf P\rangle$ состоит из $\Omega=\{(2,0);\, (1,1);\, (0,2)\}$, $\mathcal F=2^\Omega$, $\mathsf P$ - классическая вероятность на $\Omega$, т.е. $\mathsf P\{\omega_i\}=\frac{1}{|\Omega|}=\frac13$. По определению.
Без "постановлений ВЦСПС" в классической вероятности ничего не обходится. Приходится заранее объявлять, какие исходы считаются равновозможными. В схеме различимых шаров - одни, в схеме неразличимых - другие, в другом количестве. Так же как и в вероятности вообще - без выбора вероятностной меры вероятностного пространства нет. А вероятностная мера может быть разная. Вы исходите из одной, Ваш оппонент - из другой. Осталось Вам понять, из какой исходит он.

[Лукомор]

alex1910 в сообщении #471000 писал(а):

Неужели не понятно, что если все элементарные вероятности в задаче 1/2 и вагонов/людей тоже два, то в ответе не может быть нецелой вероятности с нечетным знаменателем

Мне кажется, что ключевым элементом решения будет определение вероятностей при размещении двух пассажиров в трёх вагонах.
Пришёл первый пассажир.
Перед ним три вагона.
Вероятность того, что он займёт любой вагон равна 1/3.
Пришёл второй пассажир.
Он также занял любой вагон с вероятностью 1/3.
Получается, что с вероятностью 1/9 оба пассажира окажутся в первом вагоне, с вероятностью 1/9 - во втором вагоне, с вероятностью 1/9 - в третьем вагоне.
Итого: вероятность того, что оба пассажира в одном вагоне (любом) и два вагона пустые равна 1/3.
Соответственно 2/3 - вероятность того, что один вагон пустой, а в двух - по одному пассажиру.
Далее, по индукции, добавляя по одному пассажиру, найдём искомую вероятность.
Лично мне так кажется...

[--mS--]

Лукомор в сообщении #471018 писал(а):

Пришёл первый пассажир.
Перед ним три вагона.
Вероятность того, что он займёт любой вагон равна 1/3.
Пришёл второй пассажир.
Он также занял любой вагон с вероятностью 1/3.

Это - совсем не та схема, которая обсуждается на последней странице. У Вас пассажиры различимы, tess рассматривал ситуацию с неразличимыми пассажирами.

(Оффтоп)

Я, конечно, понимаю, что ситуация, когда ответы различаются в зависимости от исходных предположений (условий) задачи, должен вызывать шок. Надо привыкнуть

[Лукомор]

--mS-- в сообщении #471051 писал(а):

У Вас пассажиры различимы, tess рассматривал ситуацию с неразличимыми пассажирами.

Осталось ещё рассмотреть ситуацию с неразличимыми вагонами.
Действительно, зачем их различать...
Тогда вероятность будет $P=\frac1{66}$

[ewert]

--mS-- в сообщении #471017 писал(а):

Без "постановлений ВЦСПС" в классической вероятности ничего не обходится. Приходится заранее объявлять, какие исходы считаются равновозможными.

Вовсе нет. Когда бросают несколько кубиков -- исходы априори считаются равновероятными и независимыми, безо всяких постановлений и даже каких-либо упоминаний о независимости. С пассажирами ровно так же: по умолчанию предполагается, что каждый выбирает вагон равновероятно и независимо от остальных. Просто за неимением дополнительной информации предполагаться может только это, никакая иная интерпретация никаких оснований под собой не имеет.

[Лукомор]

Кстати, задачка эта уже была на форуме, года этак три назад.
topic6626.html
В этой теме задача номер 2б.
Тогда она не вызвала таких споров...

[--mS--]

Лукомор в сообщении #471060 писал(а):

Осталось ещё рассмотреть ситуацию с неразличимыми вагонами.
Действительно, зачем их различать...
Тогда вероятность будет $P=\frac1{66}$

Нет, не будет. Вы повторяете ту же ошибку, что и alex1910 - если Вы перестали различать исходы в числителе, перестаньте и в знаменателе, чтобы не делить число деревьев на число слонов.

ewert в сообщении #471066 писал(а):

Вовсе нет. Когда бросают несколько кубиков -- исходы априори считаются равновероятными и независимыми, безо всяких постановлений и даже каких-либо упоминаний о независимости.

Ну, поехали... :( Исходы независимыми быть не могут - они несовместны.

ewert в сообщении #471066 писал(а):

С пассажирами ровно так же: по умолчанию предполагается, что каждый выбирает вагон равновероятно и независимо от остальных. Просто за неимением дополнительной информации предполагаться может только это, никакая иная интерпретация никаких оснований под собой не имеет.

Без упоминаний о независимости выбора в обеих схемах равновероятность сохранится. Просто в силу симметрии пассажиров. Если каждый исход в схеме размещения неразличимых пассажиров размножить, переставляя пассажиров (каждый - своё число раз), то события "$i$-й пассажир занял $j$-й вагон" в обеих схемах размещения будет иметь вероятность $1/n$, где $n$ - число вагонов. Только в одной схеме эти события будут независимы по $i$, в другой - зависимы. Так что независимость, которую Вы давеча забыли упомянуть - единственное, что тут "при чём".

Насчёт "по умолчанию предполагается" - это не по умолчанию предполагается, а скрывается в условии задачи под словами "наудачу", о чём я совсем недавно говорила. Поэтому снова не понимаю, к чему Вы мне всё это повторяете. Все мыслимые вероятностные умолчания в учебной литературе мне известны гораздо лучше, чем Вам.

Насчёт "никакая иная интерпретация никаких оснований не имеет" - Вы не правы. Откуда Вы знаете мотивы пассажиров, выбирающих себе вагоны? Может, им нравится кучковаться или они боятся пустоты и темноты?

См. следующую стандартную формулировку (источник тут все знают, уважаемый задачник): покупатель приходит в магазин, где есть 7 видов пирожных, и выбирает 4 пирожных. Предполагается, что любой набор выбранных пирожных равновозможен.

Любой набор - т.е. 4 пирожных 1-го вида, или 1 первого, 1 пятого и два - седьмого. Или остальные наборы, отличные лишь тем, сколько из четырёх неразличимых пассажиров попало в каждый из семи разных вагонов.