div B = 0

[spyphy]

Я тут читал Матвеева Электродинамика, попалась такая замысловатая фраза (стр. 39), может кто прояснит логику:

Цитата:

div B не зависит от времени. Следовательно, div B при данном B такая же, какой она является при других значениях B, в частности при B=0. Но при B=0 дивергенция равна 0. Следовательно, всегда div B = 0.

[Munin]

Уточните название книги. Я нашёл только "Электричество и магнетизм", там на 39 странице ничего подобного.

Надо смотреть на контекст фразы. Без контекста, можно только сделать вывод, что речь идёт о каких-то таких полях, для которых текущее значение $\mathbf{B}$ было получено каким-то процессом из нулевого значения.

И пользуйтесь LaTeX.

[spyphy]

Матвеев А.Н. Электродинамика. (2-е изд.). М.: Высш. школа, 1980
можно здесь скачать http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/phy ... ectric.htm
Вроде там без скрытого смысла.
(можно было бы еще формулу перед цитатой привести, где частная производная по времени от div B равна нулю... забыл как там частные производные набираются...)

[Хорхе]

Если функция постоянна и в одной точке равна нулю, то и во всех равна нулю. Вроде все ясно.

[Munin]

Хм. Забавная книжка, не видел её раньше.

Разумеется, это враньё: из $\tfrac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\mathbf{B}=0$ вовсе не следует $\operatorname{div}\mathbf{B}=0,$ как и вообще из $f'=0$ не следует $f=0.$ Видимо, Матвеев решил сэкономить на строгости, и вместо нормального доказательства "убедительно помахать руками".

Реально дела обстоят так: $\operatorname{div}\mathbf{B}=0$ - это опытный факт. Внутреннего обоснования и строгого математического доказательства в рамках теории электромагнетизма у него нет. И быть не может. То есть, попросту, электродинамика с магнитными зарядами не менее последовательна и непротиворечива, чем обычная электродинамика без магнитных зарядов. Отсутствие магнитных зарядов можно считать отдельной независимой аксиомой, аналогично Пятому постулату Евклида (про историю с ним, надеюсь, слышали?). Более того, магнитные заряды продложают искать в физических экспериментах, например, на ускорителях элементарных частиц.

Тем не менее, в стандартной форме уравнений Максвелла для вакуума, магнитных зарядов нет, и вы можете просто учить $\operatorname{div}\mathbf{B}=0$ наизусть.

[spyphy]

Ага, так и подумал. Ох и любят эти физики иногда смухлевать )

[Munin]

spyphy в сообщении #470803 писал(а):

Ох и любят эти физики иногда смухлевать )

Не обобщайте, пожалуйста. Смухлевал только Матвеев.

[spyphy]

Хорошо. Придется теперь более внимательно читать книжечку...

[мат-ламер]

Возникло два вопроса. Первый. Допустим найдут магнитный монополь. У него что - магнитное поле потенциально? Придётся для него заново переформулировать уравнения Максвелла? Второй вопрос. Для магнитного поля справедливо $div B=0$. Откуда Матвеев далее делает вывод об отсутствии магнитных зарядов?

[spyphy]

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Придётся для него заново переформулировать уравнения Максвелла?

Придется переформулировать всю физику, мне кажется.

Вообще, в предположении верности СТО поиск магнитных зарядов кажется таким же полезным занятием как попытка пощупать источник кориолисовой силы.

[мат-ламер]

Ещё несколько вопросов. Пусть дано векторное поле $B$, для которого $divB=0$. Понятно, что оно может задано не на всём пространстве. (Магнитное поле проводника с током бесконечно в самом проводнике). 1) Отсутствие зарядов (если это понятие формализовать) эквивалентно ли наличию у поля векторного потенциала, т.е. $B=rotA$? 2) Почему-то для книг, которые я бегло просмотрел с вышеприведённого сайта, считается что из $divB=0$ должно автоматом следовать наличие векторного потенциала. Это заблуждение или я чего-то недопонимаю? 3) Возможно для системы уравнений Максвелла в диф. форме существование векторного магнитного потенциала можно доказать?

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

Отсутствие зарядов (если это понятие формализовать) эквивалентно ли наличию у поля векторного потенциала, т.е. $B=rotA$?

Ну а что еще? Вы думаете есть другое решение?

[EvilPhysicist]

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Допустим найдут магнитный монополь. У него что - магнитное поле потенциально? Придётся для него заново переформулировать уравнения Максвелла?

Не прийдётся. По скольку его до сих пор не нашли, то уравнения Максвелла будут работать для подавляющего числа случаев. Они перейдут в то же положение, в котором сейчас классическая механика.

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

1) Отсутствие зарядов (если это понятие формализовать) эквивалентно ли наличию у поля векторного потенциала, т.е. $B=rotA$?

Врят ли тут можно сказать, что отсутствие магнитных зарядов именно эквивалентно наличию векторного потенциала. Эти вещи не свезаяны. А что векторный потенциал у электромагнитного поля есть это да.

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

2) Почему-то для книг, которые я бегло просмотрел с вышеприведённого сайта, считается что из $divB=0$ должно автоматом следовать наличие векторного потенциала

Потому что тогда одним скалярным потенциалом электромагнитное поле не описать.

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

зможно для системы уравнений Максвелла в диф. форме существование векторного магнитного потенциала можно доказать?

Не совсем понял, что вы под этим имели в виду, но можно доказать, что Э.М. поля есть два потениала, например как это сделана в Л.Л. Том 2.

[Bulinator]

Вообще-то, если, например, из $\mathbb{R}^3$ выколоть точку и, тем самым сделать группу когомологий отличной от нуля, то появится магнитный заряд. Например 1-форма
$A=\frac{ydx-xdy}{r(r+z)}$ описывает векторный потенциал дираковского монополя(магнитного заряда).

Физически, мы имеем
$F=dA$, но $dF=\delta{(r)}\neq 0$.
Кстати, в двумерии такое выкалывание дает эффект Ааронова-Бома.

[profrotter]

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

Почему-то для книг, которые я бегло просмотрел с вышеприведённого сайта, считается что из $divB=0$ должно автоматом следовать наличие векторного потенциала.

Так как $div \overrightarrow{B}=0$ и $div(rot\overrightarrow{A})=0$ (доказывается в теории поля), то вектор магнитной индукции можно представить в виде: $\overrightarrow{B}=rot \overrightarrow{A}$, а $\overrightarrow{A}$ называется векторным потенциалом. Ввиду того, что $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{A}$ связаны дифференциальным оператором, последний определён с точностью до аддитивной константы, которую выбирают исходя из "лоренцевой калибровки".

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Для магнитного поля справедливо $div B=0$. Откуда Матвеев далее делает вывод об отсутствии магнитных зарядов?

Равенство $div \overrightarrow{B}=0$ означает, что нет источников и стоков силовых линий поля (см. определение дивергенции), эти линии должны быть замкнуты сами на себя или уходить в бесконечность. Существование же зарядов означало бы, что линии поля должны начинаться и заканчиваться на них.