Чуть-чуть групповой анализ и алгебры Ли

[scwec]

Пусть $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x^n}{x+y^n}$. Найти первый интеграл этого уравнения.
Замкнутая форма(не точная)годится.

[scwec]

В чем же смысл этой неинтересной задачи?
Рассмотрим два поля на $R^2$.
$X_1=(x+y^n)\frac{\partial}{{\partial}x}+(y+x^n)\frac{\partial}{{\partial}y}$. (Это поле соответствует заданному уравнению)
и $X_2=x\frac{\partial}{{\partial}x}+y\frac{\partial}{{\partial}y}$.
Коммутатор $[X_1,X_2]=(1-n)X+(n-1)Y$.
Таким образом, $X_1$ и $X_2$ порождают при $n\ne{1}$ некоммутативную (разрешимую) алгебру Ли.
Будем далее находиться в области линейной независимости $X_1, X_2$. Назовем её $M^2$.
Может быть найдется кто-нибудь, кто скажет, что нужно сделать, чтобы разрешимая двумерная алгебра Ли в области $M^2$ стала коммутативной с помощью квадратур?
Тем самым и решится заданное уравнение.

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #468728 писал(а):

что нужно сделать, чтобы разрешимая двумерная алгебра Ли в области $M^2$ стала коммутативной

Вы имеете ввиду абелианизацию?

[scwec]

Думаю, что да. Однако, что это такое?

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #468751 писал(а):

Думаю, что да. Однако, что это такое?

Фактор по производному идеалу, вестимо :) У нас это будет идеал $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \left\langle (1 - n)y^n \frac{\partial}{\partial x} + (1 - n) x^n \frac{\partial}{\partial y} \right\rangle$ - очевидно, фактор будет одномерным (следовательно, абелевым), а второй производный идеал будет нулем, что подтверждает разрешимость.

Посмотрим, как будет выглядеть фактор. Произвольный элемент алгебры будет иметь вид

$$[(\alpha + \beta)x + \alpha y^n] \frac{\partial}{\partial x} + [(\alpha + \beta)y + \alpha x^n] \frac{\partial}{\partial y}.$$

"Убив" коммутатор, получим

$$\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \left\langle x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right\rangle,$$

очевидно абелева алгебра. Что дальше?

[scwec]

Вот именно, что дальше?

[scwec]

На самом деле двумерная алгебра Ли векторных полей может стать коммутативной, если поля умножить на некоторые подходящие функции. Тогда дуальные формы к векторным полям станут замкнутыми в соответствии с формулами Маурера-Картана. И локально точными. Вот и готовые первые интегралы.
Задача в том, чтобы найти эти функции ( в двумерном случае это одна функция).

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #468996 писал(а):

На самом деле двумерная алгебра Ли векторных полей может стать коммутативной, если поля умножить на некоторые подходящие функции.

Если бы вы еще правильно выразили это формально, а то вас не поймешь.

[scwec]

Понятней так понятней.
Поля $X_1, X_2$ определены выше. Они не коммутируют.
В области линейной независимости $M^2$ этих полей определены дуальные формы $\omega{^1}$ и $\omega{^2}$, $\omega{^i}(X_j)=\delta{^i_j}$, $i,j=1,2$. Поскольку поля не коммутируют, дуальные формы не замкнуты в силу уравнений Маурера-Картана.
Предположим, что удалось найти гладкую знакопостоянную функцию $f=f(x,y)$ в области $M^2$ такую, что коммутатор $[fX_1,fX_2]=0$.
Тогда дуальные формы полей $fX_1, fX_2$ в любой односвязной окрестности любой точки из $M^2$ являются (в силу теоремы Пуанкаре о точности замкнутых форм в односвязных областях) дифференциалами некоторых гладких функций. И локально, таким образом первые интегралы для полей $X_1,X_2$ найдены. Оказывается, что если поля $X_1, X_2$ порождают алгебру Ли, то такая функция $f$ находится квадратурами и записывается в явном виде.
Вот ее и надо найти в случае предложенного дифференциального уравнения.
В общем виде она записывается с использование структурных констант алгебры Ли, коэффициентов дуальных форм, взятия $Exp$ и $\int$

[scwec]

Думаю, что нельзя сдвинуться с места, пока не будет дан ответ на следующий вопрос:
Сначала определение. Пусть $X_1,X_2,...,X_n$-гладкие векторные поля линейно независимые в некоторой односвязной области $U\subset{R^n}$.
Рассмотрим систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{ll} {X_{1}(V)=f_{1}}\qquad\qquad\qquad(1)\\ {X_{2}(V)=f_{2}}\\ {\ldots\ldots\ldots\ldots}\\ {X_{n}(V)=f_{n}}\\ \end{array} \right.\\ $$

где $f_i(x_1,x_2,...,x_n)$ -гладкие функции на $U$
Вопрос (практически учебный).
Сформулировать необходимые и достаточные условия для разрешимости системы уравнений $(1)$
Если дан правильный ответ, то можно отвечать и на более сложные и продвинутые вопросы.
Но это - необходимый минимум.

[Kallikanzarid]

Что такое $V$?

(Оффтоп)

В чем суть этой темы? Если вы решили провести открытую лекцию по групповому анализу, то явно выбрали для этого очень неудачный тон.

[scwec]

$V=V(x_1,x_2,...,x_n)$

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #470639 писал(а):

$V=V(x_1,x_2,...,x_n)$

Я вижу буквы, но не понимаю их смысл. Это функция? Откуда и куда? Или это карта? Что это?

[scwec]

Я задал действительно почти учебный вопрос. И не понимаю почему он Вас так задел.
Вопрос мой совершенно невинный. Но очень существенный.
Он имеет очень красивый ответ. Кто-нибудь, возможно, его угадает.
Он совершенно не имеет в виду конечномерных алгебр Ли. Однако не исключает из рассмотрения и их.
Короче, это вопрос имеет в виду любые алгебры Ли, составленные из векторных полей на $R^n$.
Я почти все рассказал про ответ.

[scwec]

$V$, конечно, гладкая функция на $R^n$.