Изменение размеров матрицы, без потери ее элементов

[Cubic]

Здравствуйте, господа.
Надеюсь на подсказки. Есть матрица $X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}&x_{13}&x_{14}\\ x_{21} & x_{22}&x_{23}&x_{24}\\ x_{31} & x_{32}&x_{33}&x_{34}\\ \end{pmatrix}$, из нее формируется новая матрица $H=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{13} & x_{14}\\ x_{21} & x_{22}\\ x_{23} & x_{24}\\ x_{31} & x_{32}\\ x_{33} & x_{34}\\ \end{pmatrix}$. Число строк увеличилось в два раза за счет разбиения строк матрицы $ X $ пополам. Теперь я хочу найти последовательность преборазований приводящих от $X$ к $H$. Думаю, что должно быть что-то вроде $ H =MXN $. К сожалению, самостотельно определить такие $M$ к $N$ у меня не получается. Заранее благодарю за любую помощь.

[Kallikanzarid]

Удовлетворяте ли отображение $X \mapsto H$ каким-либо хорошим свойствам? Если да, то как мы можем это использовать?

[Cubic]

Может быть я чего-то не понимаю, но единственное свойство отображения $X \mapsto H$, то которое обозначено в верхнем посте, а именно увеличение числа строк. Возможно, если я опишу физическую задача, то будет по понятнее.
Имеется матричное уравнение $Y=AX$, пусть $Y \in \mathbb C^{2 \times 4},A \in \mathbb C^{2 \times 3},X \in \mathbb C^{3 \times 4}$. Матрица $Y$ является результатами измерений и известна, матрица $A$ описывают саму систему измерений и также известна. Требуется найти матрицу $X$. При определенных условиях, накладываемых на $A$, и зная, что в матрице $X$ большинство строк равну нулю (для данного примера в три строки две из них должны быть нулевыми ) эту задачу можно однозначно решить при помощи orthogonal matching pursuit (позволяет опеределить ненулевые строки матрицы $X$). Каждая строка в матрице $X$ представляет из себе часть спектра сигнала, т.е. в данном примере спектр состоит из 12 частот, соотвествующих элементам $X$. По условиям задачи, большинство этих элементов нулевые (sparse vector). Я подумал, что может быть возможно будет увеличить разрешение измерительной системы по частоте если разбить матрицу $X$, как в верхнем посте. Тогда можно получить новое матричное уравнение $G=A_1H$, причем $A_1$ будет известна исходя из заданной измерительной системы. Для того, чтобы попытаться решить новое уравнение нужно получить новую матрицу измерений $G$, зная реальную матрицу измерений $Y$. Вопрос как это сделать. Я подумал, что если предствить $H=MXN$, то
$X=M^+ H N^+,H=A_1^+G \Rightarrow Y=AM^+ H N^+ \Rightarrow Y=AM^+A_1^+G N^+$. Следовательно $G=A_1 M A^+YN$, и дальше уже можно работать с матрицей $G$.
Вот, собсветнно вся задача сводится, как я предполагаю, к поиску $X \mapsto H$.
Прошу прощение за многословность.

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #469819 писал(а):

Может быть я чего-то не понимаю, но единственное свойство отображения $X \mapsto H$, то которое обозначено в верхнем посте, а именно увеличение числа строк.

Подумайте еще, там есть очень хорошее свойство

[Cubic]

О, это даже интригует!
Из свойств этого отображения я вижу только линенойсть и биективность. Могу предположить, что это означает существование линейного преобразования. Но как найти это преобразование... Еще ранг понижается =)

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #469914 писал(а):

Из свойств этого отображения я вижу только линенойсть и биективность.

Отлично! Есть ли способ представить линейное отображение в удобном для вычисления виде?

[Cubic]

Линейный оператор можно представить в виде матрицы этого оператора. Для того чтобы получить эту матрицу нужно последовательно подействовать оператором на базисные векторы пространства $X$ и составить матрицу из результирующих векторов. Но у меня не получается. Пусть базис $X$
$E_X =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$, так у меня даже не получается подействовать операторам на базис, т.к. там столбцы. К тому же не сходится по размерности и одним линейным оператором здесь не обойтись ибо $X$ $3\times 4$, а $H$ $6\times 2$ и одной матрицей здесь точно не обойтись...

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #470072 писал(а):

Но у меня не получается.

Вы точно правильно выбрали базис? Для тренировки рассмотрите сначала базис многочленов порядка $n$.

[Cubic]

Чего-то я запутался.
Если есть пространство многочленов $X$ от одной переменной степени не выше $n=3$, то базис можно предствить в виде $E_X=\begin{pmatrix} 1 & x^1 & x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$, или $E_X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$. А мне нужно получить преобразование приводящее к $E_H=\begin{pmatrix} 1 & x^1 \\ x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$.
Если я приму за базис строки матрицы $E_X$, и подействую на них оператором , то у меня получиться 4 матрицы: $E_{X1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $,$E_{X2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $,$E_{X3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $, $E_{X4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $.
Если затем выписать получившиеся матрицы в один столбец и выкинуть нулевые строки, то получиться матрица $M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $. Пусть например имеем $X_1=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0 & 0\\0 & 0 & a_3 & 0\\0 & 0 & 0 & a_4\\\end{pmatrix}$, умножим $X_1$ на $M$ слева, $X_1M=\begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \\a_3 & 0\\0 & a_4\\\end{pmatrix}$. Похоже на желаемый результат, а если добавить через один нулевые строки, то и совпадает. Но эти мои выкладки вообще не математика, а подгонка под ответ

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #470247 писал(а):

или $E_X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$

Брр, давайте не будем писать матрицы там, где они не нужны. Переформулируйте результаты с многочленами на языке обычной математики.

[Cubic]

Чего-то мне совсем грустно.
Вот есть у меня базис $E_X=\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$, а мне нужно получить $E_H=\begin{pmatrix} 1 & x \\x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$. Я правильно понимаю? И как это относится к первоначальной задаче, ответа к которой я ищу?
Время идет, работа стоит, начальник ругается. Могли бы Вы, пожалуйста, подсказать более конкретно, что нужно делать, чтобы мне решить первоначальную задачу?

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #470390 писал(а):

Чего-то мне совсем грустно.
Вот есть у меня базис $E_X=\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$, а мне нужно получить $E_H=\begin{pmatrix} 1 & x \\x^2 & x^3\\ \end{pmatrix}$. Я правильно понимаю? И как это относится к первоначальной задаче, ответа к которой я ищу?
Время идет, работа стоит, начальник ругается. Могли бы Вы, пожалуйста, подсказать более конкретно, что нужно делать, чтобы мне решить первоначальную задачу?

Выбрать базисы, перейти к $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, посчитать коэффициенты матрицы. И возьмите в библиотеке учебник по линейной алгебре, а то у вас обозначения какие-то древние.

[ewert]

Используется синтаксис Pascal

var  X: array[1..3] of array[1..4] of real;
     H: array[1..6] of array[1..2] of real  Absolute X;

[Cubic]

ewrert
Спасибо за помощь, но мне нужно получить аналитическое выражение.

Kallikanzarid

Цитата:

Выбрать базисы, перейти к

Вот с этим-то у меня и не получается разобраться, а хочется понять в чем я ошибаюсь.
У меня два линейныx пространства $X = \mathbb{R}^{p \times k}$ и $H = \mathbb{R}^{2p \times k/2}$. При этом базис пространства $X$ является набором $p \cdot k$=12 матриц у которых в соответствующей позиции будет 1, а остальные члены матрицы равну нулю. И вот если я возьму каждую такую базисную матрицу и подействую на нее своим преобразованием, то получу набор и $p \cdot k$ матриц размерами $2p \cdot k/2$. И, соотвественно, составить из них матрицу линейного оператора не представляется возможным, потому что получаются неподходящие размеры.
Возможно, Вы пытаетесь мне подсказать следующим:

Цитата:

перейти к $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$

но как сделать переход $X = \mathbb{R}^{p \times k} \to \mathbb{R}^n$ и $H = \mathbb{R}^{2p \times k/2} \to \mathbb{R}^m$ мне не понятно.

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #470558 писал(а):

И, соотвественно, составить из них матрицу линейного оператора не представляется возможным, потому что получаются неподходящие размеры.

А вам нужно сначала представить эти получившиеся матрицы в виде линейной комбинации базисных векторов кодомена.