Вопрос о сжимающих отображениях

[flower_fire]

Есть теорема о сжимающих отображениях , (В полном метрическом пространстве X задан линейный оператор А, A -сжимающий оператор -> cуществует единственная неподвижная точка)Приведите пример , почему полноту пространства на котором задано линенйный оператор нельзя выкинуть.

[RIP]

Подозреваю, что интервал $(0;1)$ подойдет. Оператор сами сочините. Не трудно.
Только при чем здесь линейность, если пространство метрическое?

[flower_fire]

Проверьте , правильно ли подумала.
В качестве метрики возьмём просто модуль.
В качестве сжимающего отображения x^2.
Тогда видно что Ax=x не будет выполняться ни для одной точки интервала (0,1)?

[RIP]

flower_fire писал(а):

Проверьте , правильно ли подумала.
В качестве метрики возьмём просто модуль.
В качестве сжимающего отображения x^2.
Тогда видно что Ax=x не будет выполняться ни для одной точки интервала (0,1)?

$x^2$ не является сжимающим.

[flower_fire]

Разве на интервале (0,1) x^2 не является сжимающим , оно же уменьшает числа из интервала: взяли x=1/3, y=1/2
|1/9-1/4|<a|1/3-1/2| a>5/6 , что то видимо я не понимаю?

[RIP]

А если взять $x=2/3,y=3/4$?

[flower_fire]

А если взять x^(1/2), вроде выполняется?

[RIP]

flower_fire писал(а):

А если взять x^(1/2), вроде выполняется?

А если взять $x=0,01;y=0,04$?
Не надо таких экзотических отбражений. Будьте попроще, забудьте, что я ругался про линейность.

[flower_fire]

Видимо Вы намекаете на 1/2*x?

[RIP]

flower_fire писал(а):

Видимо Вы намекаете на 1/2*x?

Вы прочитали мои мысли.

[flower_fire]

1)А Вы можите привести пример полного МП X и отображения F:X->X
: d(F(x),F(y))<d(x,y) для любого x не равного y, у которого нет неподвижных точек?
2) тоже самое , только X-просто компакт , может ли существовать неподвижная точка у этого отображения?

Я как всегда сразу не могу.

[RIP]

1) Я-то могу, но мне почему-то не хочется решать всё за Вас, не сочтите за грубость. Пространство я Вам подскажу. Можно взять $[1;+\infty)$ с обычной метрикой. Попробуйте сами подобрать отображение.
Подсказка. Ищите его, например, в виде $f(x)=x+g(x)$. Функцию $g$ попробуйте подобрать сами.

2) Возможно, вопрос звучит так: "может ли не существовать..."?

[flower_fire]

Я думаю , может подойдёт x+1/x?
А второй вопрос звучит именно так , а в чем сомнение, просветите?

[RIP]

flower_fire писал(а):

Я думаю , может подойдёт x+1/x?

В точку.

flower_fire писал(а):

А второй вопрос звучит именно так , а в чем сомнение, просветите?

А почему такой точки не может существовать? Возьмите любой компакт и любое отображение с таким свойством. Даю Вам гарантию 100%, что неподвижная точка найдется.

[flower_fire]

Берём отрезок [0,1]
Отображение (1/2)*x
Есть неподвижная точка, а именно ноль.
(1/2*x=x).
Я ,как понимаю, Вы имеете ввиду для любого компакта и отображения с указанными св-ми нет неподвижной тички.
В моём примере она вроде есть?