Предкомпактное множество в C[a,b] (теорема Арцела)

[Brukvalub]

Да, но только на отрезке, правый конец которого меньше 1.

[Cat]

То, что она сходится поточечно я понимаю, а как доказать равномерную сходимость последовательности |n*t^{n-1}|? Подскажите, пожалуйста.

[RIP]

$|nt^{n-1}|\le nd^{n-1}$, где $d=\max\{|a|,|b|\}<1$.

[Cat]

Получается, что max|nt^{n-1}|\to 0?

[RIP]

Cat писал(а):

Получается, что max|nt^{n-1}|\to 0?

Да, если максимум по множеству $t\in[a;b]$.
P.S. Но нам надо не это, а

$$\sup_{n\in\mathbb{N},t\in[a;b]}|n\cdot t^{n-1}|<\infty.$$

Это условие следует из написанного Вами.

[Cat]

Спасибо за помощь. Из утверждения

Цитата:

$$\sup_{n\in\mathbb{N},t\in[a;b]}|n\cdot t^{n-1}|<\infty.$$

следует равномерная ограниченность множества производных и справедливость применения теоремы Лагранжа.

[RIP]

Cat писал(а):

Спасибо за помощь.

Не за что.

Cat писал(а):

Из утверждения

Цитата:

$$\sup_{n\in\mathbb{N},t\in[a;b]}|n\cdot t^{n-1}|<\infty.$$

следует равномерная ограниченность множества производных и справедливость применения теоремы Лагранжа.

Только правильнее говорить не "справедливость применения теоремы Лагранжа", а, скажем, "целесообразность её применения". Теорему Лагранжа можно применять в любом случае, но если бы не было равномерной ограниченности производных, то это не дало бы ровным счётом ничего.

[Cat]

А если max|n*t^{n-1}\to 0|, то sup тоже будет к нулю стремится?

[Brukvalub]

Супремум будет конечным числом. Символами это записывается так:

RIP писал(а):

P.S. Но нам надо не это, а

$$\sup_{n\in\mathbb{N},t\in[a;b]}|n\cdot t^{n-1}|<\infty.$$

[Cat]

Понятно, спасибо.