2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Предкомпактное множество в C[a,b] (теорема Арцела)
Сообщение22.12.2006, 16:03 
Аватара пользователя
При каких a и b множество $D=\{ t^n, n \in N \}$ будет предкомпактным в $C[a,b]$?
Пользуюсь теоремой Арцела.
Получаю, что при $-1\leqslant a<b\leqslant 1$ выполняется равномерная ограниченность, т.к $|t^n|\leqslant 1$, но проверить равностепенную непрерывность не получается, помогите, пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 16:54 
Аватара пользователя
Если $a=-1$ или $b=1$, то нет равностепенной непрерывности.
Если $-1<a<b<1$, то равностепенная непрерывность есть.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 18:23 
Аватара пользователя
А как ее проверить, оценить |t_1^n-t_2^n|,если |t_1-t_2|<\delta ?

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 18:26 
Аватара пользователя
Равностепенную непрерывность можно проверить, например, так. Доказать, что первые производные равномерно ограничены. Потом воспользоваться теоремой Лагранжа о конечных приращениях.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 18:34 
Аватара пользователя
Требуется использовать теорему Арцела все же.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 18:36 
Аватара пользователя
Я имел в виду не предкомпактность, а равностепенную непрерывность, поправил свой пост.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 18:47 
Аватара пользователя
Получается, что f'(t)=n*t^{n-1}, |f'(t)|\leq nТогда по теореме Лагранжа |t_1^n-t_2^n|\leq n*|t_1-t_2|. Справедлива ли такая оценка?

 
 
 
 
Сообщение22.12.2006, 22:46 
Аватара пользователя
Cat писал(а):
Получается, что f'(t)=n*t^(n-1), |f'(t)|\leq nТогда по теореме Лагранжа |t_1^n-t_2^n|\leq n*|t_1-t_2|. Справедлива ли такая оценка?

Такая оценка справедлива, но она ничего не дает. Вам надо написать нер-во $|f'(t)|\le C$, где $C$ не зависит ни от $t$, ни от $n$, только от $a,b$. Это можно сделать при $-1<a<b<1$.

Добавлено спустя 2 часа 24 минуты 7 секунд:

Явный вид константы $C$ можно и не вычислять

 
 
 
 
Сообщение23.12.2006, 12:06 
Аватара пользователя
А оно следует из того что функция равномерна ограничена?

 
 
 
 
Сообщение23.12.2006, 15:14 
Аватара пользователя
Cat писал(а):
А оно следует из того что функция равномерно ограничено?

Добавлено спустя 34 секунды:

Cat писал(а):
А оно следует из того, что функция равномерно ограничена?
Равномерно (то есть, одновременно) ограниченным может быть семейство функций, а одна функция бывает просто ограниченной. Но и из равномерной ограниченности равностепенная непрерывность не следует.

 
 
 
 
Сообщение24.12.2006, 07:45 
Аватара пользователя
А из того, что множество функций равномерно ограничено, следует, что множество производных равномерно ограничено?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2006, 17:25 
Аватара пользователя
Cat писал(а):
А из того, что множество функций равномерно ограничено, следует, что множество производных равномерно ограничено?

Не следует. Например, это не выполняется для рассматриваемого Вами множества на отрезке [0 ; 1].

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 09:00 
Аватара пользователя
Кроме приведенной выше оценки, я не могу что-то догадаться как еще оценить производные, n ведь произвольное число и получается что на интервале от (-1,1) множество производных не является равномерно ограниченным?

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 09:12 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь тем, что $$
\mathop {\lim \;n(1 - \varepsilon )^n  = 0\quad ,\;0 < \varepsilon  < 1}\limits_{n \to \infty } 
$$

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 09:56 
Аватара пользователя
Спасибо. То есть получается, что последовательность |n*t^{n-1}| при |t|<1сходится и следовательно ограничена и поэтому можно воспользоваться теоремой Лагранжа?

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group