Не совсем обычная функция распределения

[artonson]

Здравствуйте. Мне нужно решить следующую задачу.
Имеется функция распределения $F_{XY}(x,y) = \min(x,y), x,y\in[0,1]$. Требуется получить функцию распределения сл.в. $X$.
Основная трудность, которая у меня появилась, в том, какая функция распределения дана. Если бы она была обычной дифференцируемой функцией, то дело было бы за малым - продифференцировать по обеим переменным, получив совместную плотность, и затем проинтегрировать по $y$. Но, насколько я понимаю, минимум из двух не дифференцируется. Поэтому непонятно, как тут быть.

[Хорхе]

Да нет у нее плотности, и не может быть. Если присмотреться и хорошенько задуматься, то даже понятно, как $X$ и $Y$ связаны.

Впрочем, это совершенно не обязательно. Чтобы из совместной функции распределения получить функцию распределения одной величины (маргинальную), нужно устремить... Впрочем, может, догадаетесь, что куда устремить?

[artonson]

Нужно устремить мешающую переменную к $+\infty$:
$\lim\limits_{y \to +\infty} F_{XY}(x,y) = F_X(x)$

У меня получается:
$F_X(x) = \lim\limits_{y \to +\infty} \min(x,y) = x$

Что, неужели так просто?

[Хорхе]

Да, так просто.

На самом деле в данном случае случайные $X$ и $Y$ совпадают.

[artonson]

Что значит совпадают? У них только ф.р. одинаковая.

[--mS--]

artonson в сообщении #360635 писал(а):

Что значит совпадают?

Значит, совпадают : $\mathsf P\{\omega ~|~X(\omega)=Y(\omega)\}=1$. В этом и только в этом случае у двух равномерно распределённых случайных величин будет указанная функция совместного распределения.

[ShMaxG]

Если $X=Y$ и равномерно распределены по $[0,1]$, то их совместная функция распределения $\min\{x,y\}$, это очевидно. А в обратную сторону не очень. Я пытаюсь найти функцию распределения их разности:

$$F_{X-Y}(z)=\int_0^1{dy}\int_0^{y+z}{f_{X,Y}(x,y)}dx$$

Но проблема в функции плотности их совместного распределения (которая то ли разрывная, то ли "дельта-функция" на прямой $x=y$), удается доказать лишь, что при $z \le 0$ функция $F(z) = 0$ и при $z \ge 1$ функция $F(z) = 1$.

Еще я пытался найти вероятность события $X \ne Y$, то тоже ничего не получилось.

[--mS--]

У них нет и не может быть плотности совместного распределения - ни относительно меры Лебега, ни относительно считающей меры. Совместное распределение пары $(X,Y)$ с данной функцией распределения сингулярно в $\mathbb R^2$, поскольку сосредоточено на множестве нулевой лебеговой меры в $\mathbb R^2$ и не имеет атомов. Поэтому никаких интегралов ни от чего тут выписать не удастся. Впрочем, тут я не сильна.

Обратный факт следует просто из того, что функция распределения однозначно определяет распределение - хоть в $\mathbb R$, хоть в $\mathbb R^n$. Поэтому если пара $X=Y$, где $X \sim U(0,1)$ имеет данную функцию распределения, и пара $(U, V)$ имеет ту же функцию распределения, то совместное распределение пары $(U, V)$ такое же, как у пары $(X, Y)$. В частности, $\mathsf P((U,V) \in B)=\mathsf P((X,Y) \in B)$ для любого борелевского $B\subseteq \mathbb R^2$. Например, для $B$, совпадающего с диагональю единичного квадрата.

[ShMaxG]

--mS-- в сообщении #467349 писал(а):

У них нет и не может быть плотности совместного распределения - ни относительно меры Лебега, ни относительно считающей меры. Совместное распределение пары $(X,Y)$ с данной функцией распределения сингулярно в $\mathbb R^2$, поскольку сосредоточено на множестве нулевой лебеговой меры в $\mathbb R^2$ и не имеет атомов. Поэтому никаких интегралов ни от чего тут выписать не удастся. Впрочем, тут я не сильна.

Ну да... в общем-то с самого начала казалось, что это какой-то ерундовый ход, ну да ладно.

В общем, пара случайных величин, которая дает такую функцию совместного распределения, единственна, и мы ее получили просто проверкой. Т.е. никакая другая пара случайных величин не обладает такой функцией совместного распределения.

Спасибо.

[--mS--]

ShMaxG в сообщении #467353 писал(а):

В общем, пара случайных величин, которая дает такую функцию совместного распределения, единственна, и мы ее получили просто проверкой. Т.е. никакая другая пара случайных величин не обладает такой функцией совместного распределения.

Нет, это нехороший вывод. Сколько угодно есть пар случайных величин, обладающих таким совместным распределением. Вот само совместное распределение (целиком описываемое свойствами: $X$ равномерно распределено на $[0,\,1]$, $Y=X$ почти наверное) такой функцией распределения определяется однозначно.

[ShMaxG]

Так, еще раз.

--mS-- в сообщении #467349 писал(а):

Обратный факт следует просто из того, что функция распределения однозначно определяет распределение - хоть в $\mathbb R$, хоть в $\mathbb R^n$. Поэтому если пара $X=Y$, где $X \sim U(0,1)$ имеет данную функцию распределения, и пара $(U, V)$ имеет ту же функцию распределения, то совместное распределение пары $(U, V)$ такое же, как у пары $(X, Y)$.

Т.е. так. Пусть известно, для $X=Y \sim U(0,1)$ (равенство почти наверное) функция совместного распределения $F_{X,Y} = \min\{x,y\}$ на $[0,1]^2$. Пусть для какой-то другой пары $(U,V)$ известно, что $F_{U,V} = \min\{u,v\}$ на $[0,1]^2$. Тогда $U=V \sim U(0,1)$ (равенство почти наверное), потому что функция совместного распределения однозначно задает распределения компонент и связь между ними. Так?

[--mS--]

Совершенно верно.