Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[photon]

VAL в сообщении #467462 писал(а):

А причем тут Clever_Unior?

исправил

[Clever_Unior]

Цитата:

А причем тут Clever_Unior?

Вы о чем? Я себя нигде не вижу
Ну раз исправили, вот я и не заметил :)

[VAL]

Clever_Unior в сообщении #467450 писал(а):

Задача 62
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство
$(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})...(n+\frac{1}{n})\leqslant2n!$

(Решение задачи №62)

Лемма:$(1+\frac1{n+1})(n+1+\frac1{n+1})<(1+frac1n)(n+1)$.
Доказательство сводится к проверке очевидного неравенства: $(n^2+2n)(n^2+2n+2)<(n+1)^4$
Далее индукция.
База очевидна.
Индуктивный переход
$(1+\frac1{n+1})(2+\frac1{n+1})\dots(n+\frac1{n+1})(n+1+\frac1{n+1})<(1+\frac1{n})(2+\frac1{n+1})\dots(n+\frac1{n+1})(n+1)$
на основании леммы.
Далее работает индуктивное предположение.

Задача №66
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на десять прямоугольников
периметра 2 (не обязательно различных)?

[Zealint]

Clever_Unior в сообщении #467461 писал(а):

Задача №65
Решить уравнение:
$4x^3-6x^2+3x-a=0$

(Решение задачи №65)

Если неизвестной является $a$, то ответ $a=4x^3-6x^2+3x$,
если $x$, то три корня:
$\frac12(2a-1)^{1/3}+\frac12$,
$-\frac14(2a-1)^{1/3}+\frac14i\cdot3^{1/2}(2a-1)^{1/3}+\frac12$,
$-\frac14(2a-1)^{1/3}-\frac14i\cdot 3^{1/2}(2a-1)^{1/3}+\frac12$;

А если честно, то как-то нехорошо в качестве головоломок постоянно давать задачи типа олимпиадных по математике. Иначе это выглядит совершенно не оригинально и сужает круг участников. Может быть автор конкурса что-нибудь придумает, чтобы так не было?

Настало время для самой жестокой головоломки из моей коллекции.
Задача №67
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Нужно написать число вместо знака вопроса. Объяснить.

16+98=4
34-12=1
80*88=12
99/41=?

[VAL]

Nataly-Mak в сообщении #467457 писал(а):

(Решение задачи №60)

Вроде бы Баня, но не знаю ответ на третий пункт

На мой взгляд, и по второму пункту не подходит.

[Zealint]

Zealint писал(а):

(Оффтоп)

А если честно, то как-то нехорошо в качестве головоломок постоянно давать задачи типа олимпиадных по математике. Иначе это выглядит совершенно не оригинально и сужает круг участников. Может быть автор конкурса что-нибудь придумает, чтобы так не было?

(Негодую : ))

А ещё становится неудобным добавлять решения и задачи, я с 8 утра пытался добавить решение одной задачи и свою, но каждый раз, нажимая "предпросмотр", кто-то уже добавлял решение, я брал следующую задачу, решал (минут 5), как снова после нажатия предпросмотра кто-то уже решил. И так еще несколько раз, вот, к 10 часам, проиграв 5 или 6 задач, мне наконец удалось! Я такой не один, правда?

[VAL]

(Оффтоп)

Zealint в сообщении #467470 писал(а):

16+98=4
34-12=1
80*88=12
99/41=?

А что у Вас по арифметике в школе было?

-- 12 июл 2011, 09:18 --

Zealint в сообщении #467472 писал(а):

Zealint писал(а):

(Негодую : ))

А ещё становится неудобным добавлять решения и задачи, я с 8 утра пытался добавить решение одной задачи и свою, но каждый раз, нажимая "предпросмотр", кто-то уже добавлял решение, я брал следующую задачу, решал (минут 5), как снова после нажатия предпросмотра кто-то уже решил. И так еще несколько раз, вот, к 10 часам, проиграв 5 или 6 задач, мне наконец удалось! Я такой не один, правда?

(Оффтоп)

Правда.
Но, с другой стороны, есть несколько задачек, которые уже несколько дней ждут ответа.

[venco]

(Решение задачи №67)

99/41=2
Каждое число заменяется на количество дырок в его цифрах.

Задача №68
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил EtCetera тут]

"... break long string for double base while lock is sealed in ..."
В какой тональности исполняется это произведение?

[Zealint]

venco в сообщении #467475 писал(а):

(Решение задачи №67)

99/41=2
Каждое число заменяется на количество дырок в его цифрах.

Верно. Как всегда, самые сложные (в моей классификации) задачи решают мгновенно : )

[venco]

Clever_Unior в сообщении #467461 писал(а):

(Решение задачи №64)

Пусть $u_i$ - последовательность этих чисел. И начиная со второго элемента каждый i-ый элемент будет равнятся $P_{u_{i-1}}$ -ому элементу, где P - множество простых чисел. То есть, второй элемент этой последовательности равен 1ому простому числу. 3ий - второму. И продолжением последовательности будет 5381-ое простое число, и так далее..

Правильно.

[VAL]

venco в сообщении #467475 писал(а):

Задача №68

"... break long string for double base while lock is sealed in ..."
В какой тональности исполняется это произведение?

(Решение задачи №68)

"When I'm 64"?

Задача №69
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]

Сколько существует пятизначных натуральных чисел, не представимых в виде суммы нескольких (более 1) последовательных натуральных чисел?

[Clever_Unior]

Zealint в сообщении #467470 писал(а):

(Решение задачи №65)

Если неизвестной является $a$, то ответ $a=4x^3-6x^2+3x$,
если $x$, то три корня:
$\frac12(2a-1)^{1/3}+\frac12$,
$-\frac14(2a-1)^{1/3}+\frac14i\cdot3^{1/2}(2a-1)^{1/3}+\frac12$,
$-\frac14(2a-1)^{1/3}-\frac14i\cdot 3^{1/2}(2a-1)^{1/3}+\frac12$;

А если честно, то как-то нехорошо в качестве головоломок постоянно давать задачи типа олимпиадных по математике. Иначе это выглядит совершенно не оригинально и сужает круг участников. Может быть автор конкурса что-нибудь придумает, чтобы так не было?

Как то все некрасиво... Есть другое решение. Это решение я не считаю правильным. Думайте еще.

[photon]

(Решение задачи №66)

VAL в сообщении #467469 писал(а):

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на десять прямоугольников
периметра 2 (не обязательно различных)?

Можно. Решение для любого числа прямоугольников, начиная с 4, приведено тут:
http://olympiads.mccme.ru/regata/20042005/Text_7.htm (задача 4.2)

Задача №70
$\boxed{\text{ДИСКВ.}}$ [Задача снята по просьбе автора]

(Комменатрий к задаче 64)

Прозвучало решение, но не было ответа. Если что, то это $... 52711$:
http://borve.org/primeness/moreterms.html

[Clever_Unior]

(Вопрос к задаче №70)

А там прочесть на современном русском языке возможно? Просто вопрос явно не по-русски поставлен

-- 12.07.2011, 09:55 --

Цитата:

(Решение задачи 62)

Правильно (Val'у)

[VAL]

photon в сообщении #467483 писал(а):

(Решение задачи № 66)

VAL в сообщении #467469 писал(а):

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на десять прямоугольников
периметра 2 (не обязательно различных)?

Можно. Решение для любого числа прямоугольников, начиная с 4, приведено тут:
http://olympiads.mccme.ru/regata/20042005/Text_7.htm (задача 4.2)

Верно.

Цитата:

Задача № 70

(Решение задачи № 70)

На том сайте, где размещен ребус, говорят, что это
"Жалоба
Жена ужасная обуза нависла надо мной взял тещу-ягодку в придачу за женой."

Задача №71
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Clever_Unior тут]

Очередная трехступенчатая загадка:

1. Это появилось в Англии намного раньше, чем, казалось бы, должно было появиться.

2. Отечественное название этого намекает на предназначение, далекое от нынешнего.

3. Их индивидуальные названия часто соотносятся вовсе не с той местностью, где они расположены.