Потому что всякая подгруппа свободной группы свободна.
Нет. В плане представлений группы это означает, что для всякой подгруппы существует такой ее базис, в котором множество соотношений является пустым. Но базис
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
уже дан:
![$A_N = \{ a;b;c\}$ $A_N = \{ a;b;c\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/2967d77eb36e45a384e2ebbf2f7b503f82.png)
. Если бы
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
была свободной группой в базисе
![$A_N$ $A_N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/3/823c2a3df54d27991309554c8bfeaf7e82.png)
, то отсюда бы следовало
![$N=G$ $N=G$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62b0f4f95895510ec7e4c02a99f27d1282.png)
, что невозможно.
Другой пример: пусть
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
- подгруппа 2-свободной группы
![$<a,b>$ $<a,b>$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/addee733311983009e20f8f45b06a22182.png)
, состоящая из всех слов с четной суммой показателей при
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и при
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Тогда
![$H=<a,b|a^2,b^a,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a>$ $H=<a,b|a^2,b^a,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a>$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/7/bd7e4ea7c907098b03f4cd97e220a0a782.png)
- представление группы
![$H$ $H$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/9/7b9a0316a2fcd7f01cfd556eedf72e9682.png)
. Хотя группа свободна, т.е. для нее существует базис
![$H= \{ a^2,b^2,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a \}$ $H= \{ a^2,b^2,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a \}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/a/afa2125f3f5895ccbacf7123f2424a2882.png)
в котором она свободна, но это не базис
![$\{ a,b \}$ $\{ a,b \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/e/1ced63112dba9e215c975455d8eed3c482.png)
. Либо надо искать базис, в котором
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
- свободная группа. Но его все равно надо искать через множество определяющих соотношений.
Правильно?
У меня уже получилось
![$R_N = \{ c, ac \bar a, \bar aca, bc \bar b, \bar bcb, a^rb^scb^{-s}a^{-r} \}$ $R_N = \{ c, ac \bar a, \bar aca, bc \bar b, \bar bcb, a^rb^scb^{-s}a^{-r} \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/e/13edc04cea0274213a3418479ad7e92382.png)
для всех
![$r,s$ $r,s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/1/9110f32bfa620c9f77f086a02174772782.png)
. Жаль, что базис множество бесконечно, хотелось бы конечное. Но я вроде на втором примере разобрался. Значит дальше смогу, наверное, сам.