Представление группы по представлению ее гомоморфного образа

[bnovikov]

Потому что всякая подгруппа свободной группы свободна.

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #466461 писал(а):

Потому что всякая подгруппа свободной группы свободна.

Нет. В плане представлений группы это означает, что для всякой подгруппы существует такой ее базис, в котором множество соотношений является пустым. Но базис $N$ уже дан: $A_N = \{ a;b;c\}$. Если бы $N$ была свободной группой в базисе $A_N$, то отсюда бы следовало $N=G$, что невозможно.
Другой пример: пусть $B$ - подгруппа 2-свободной группы $<a,b>$, состоящая из всех слов с четной суммой показателей при $a$ и при $b$. Тогда $H=<a,b|a^2,b^a,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a>$ - представление группы $H$. Хотя группа свободна, т.е. для нее существует базис $H= \{ a^2,b^2,ab \bar a ,aba \bar b , ba \bar b \bar a \}$ в котором она свободна, но это не базис $\{ a,b \}$. Либо надо искать базис, в котором $N$ - свободная группа. Но его все равно надо искать через множество определяющих соотношений.
Правильно?

У меня уже получилось $R_N = \{ c, ac \bar a, \bar aca, bc \bar b, \bar bcb, a^rb^scb^{-s}a^{-r} \}$ для всех $r,s$. Жаль, что базис множество бесконечно, хотелось бы конечное. Но я вроде на втором примере разобрался. Значит дальше смогу, наверное, сам.

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #466487 писал(а):

Жаль, что базис множество бесконечно, хотелось бы конечное.

Конечным он быть не может; см., напр., Богопольский О.В. Введение в теорию групп, теорема 22.5.