(u^2v^2+a)(v^2w^2+a)(w^2u^2+a)=z^2

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #466333 писал(а):

Честно говоря, прочтя обе книги, не совсем понял каким образом строить кривую в этом случае и относительно чего. Относительно а?

Вы можете построить кривую $y^2 = (x+1)(x+4)(x+9)$ в координатах $(x;y)$?

(Оффтоп)

можно конечно строить поверхность в координатах $u,v,w,a$, но плоская кривая нагляднее

[Clever_Unior]

Если я правильно понял, вот два случая:
$u=1,v=2,w=3$


$u=2,v=3,w=4$

(Оффтоп)

Вот вроде бы подходящий сайт для графиков. Или нет?
http://www.wolframalpha.com/input/

График для x,y оттуда же:

[Sonic86]

А, ну можно сразу в координатах $(a,z)$, теперь берете 2 целые точки и проводите через них секущую - получаете третью точку и ищете ее координаты. Делайте.

[Clever_Unior]

Найти бы эти две точки :)
По графику невозможно найти :(

Стоп. Так у меня ошибка в первом графике, сейчас исправлю

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #466362 писал(а):

Найти бы эти две точки :)

Вам же nnosipov их уже написал.

Clever_Unior в сообщении #466362 писал(а):

По графику невозможно найти :(

Да Вам графически решать и не надо. График для того, чтобы убедится в существовании решения.

[Clever_Unior]

Sonic86 в сообщении #466366 писал(а):

Вам же nnosipov их уже написал.

Хорошо, его точки $(0,u^2v^2w^2);(-u^2v^2,0)$
В первом случае (1,2,3) это (0,36) и (-4,0). Но на графике они уже есть! Я что-то не понимаю

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #466368 писал(а):

Хорошо, его точки $(0,u^2v^2w^2);(-u^2v^2,0)$
В первом случае (1,2,3) это (0,36) и (-4,0). Но на графике они уже есть! Я что-то не понимаю

Решать надо в общем случае. Кривую $y^2 = (x+1)(x+4)(x+9)$ я привел для примера. Можете на не тренироваться, но решение все равно нужно общее.

[Clever_Unior]

Sonic86 в сообщении #466360 писал(а):

А, ну можно сразу в координатах $(a,z)$, теперь берете 2 целые точки и проводите через них секущую - получаете третью точку и ищете ее координаты. Делайте.

Точки которые были приведены уже есть на графике. Значит буду просто пытаться найти целые решения.

-- 08.07.2011, 11:24 --

Все, кажется, наконец-то, понял
Исходя из двух предложенных точек, получаем: $z=9a+36$
Ну и подставив в уравнение получаем целое решение: $a=36,z=360$
Аналогично для случая (2,3,4): $a=48,z=1344$

То есть: $z=aw^2+v^2u^2w^2$ - решение?

[Clever_Unior]

Подставив z, получаем квадратное уравнение относительно а (x=a):

Корни:$a_1=-u^2v^2,a_2=w^2(w^2-u^2-v^2)$
Подходит второй корень, хотя надо учитывать, что $w\geqslant u\geqslant v$
Но этот корень подойдет, только если $w^2> u^2+v^2$
Что, например, делать в случае:$w=100,u=v=99$?

[Sonic86]

Нет, неправильно составлено уравнение. Пересчитайте (сразу после подстановки $z$ удобно сократить на $a+u^2v^2$ + следите за правильностью преобразований - уравнение однородное, поэтому степени у складываемых слагаемых должны совпадать (считайте степень $a$ равной 4)), свободный член должен сократится
Хотя корень $a_2$ правильно нашли, у меня он такой же

[Clever_Unior]

Как неправильно?
Вы же сами сказали взять две точки, предложенные ранее. Исходя из них: $z=aw^2+v^2u^2w^2$
Тогда:
$(u^2v^2+a)(v^2w^2+a)(w^2u^2+a)=(aw^2+v^2u^2w^2)^2$\to

И калькулятор сразу выводит:
и в скобках как раз корни, которые я писал

[Sonic86]

(Оффтоп)

Вы на компе что-ли считаете? Зря.

Ну это уже какое-то другое уравнение, кубическое.
Ладно, фиг с уравнением, корень главное нашли, но он почему-то не всегда положительный - вот проблема

-- Пт июл 08, 2011 15:25:01 --

Clever_Unior в сообщении #466405 писал(а):

и в скобках как раз корни, которые я писал

Так надо было писать тогда все 3 корня я-то сразу все отрицательные и нулевые отбросил. Тогда все понятно, все правильно.

-- Пт июл 08, 2011 15:29:22 --

Не, ну можно конечно провести еще одну секущую и найти еще одно решение...

[Clever_Unior]

Значит надо искать другие целые точки?

-- 08.07.2011, 12:43 --

Дело в том, что я не вижу других целых точек на графике :)

[Sonic86]

Так. У меня не полностью развязаны руки... Пока могу предложить только 2 идеи:
1. Поискать решения эмпирически. Если эту задачу дали Вам, значит она не должна так сложно решаться.
2. Найти прогу, считающую группу точек кривой, собрать статистику, посмотреть на нее и подумать.

-- Пт июл 08, 2011 16:32:49 --

Блин, я выложу решение, пусть меня забанят!!!

$$a=uvw(w-u-v)$$

В силу симметрии $u,v,w$ можно всегда переставить их так, что будет $w \leq u+v$!!!

В случае $w=u+v$ попробуйте найти решение сами (интересно, что оно всегда одно в этом случае - это Вам поможет). Подсказка: оно описывается кубическим многочленом.

[Clever_Unior]

Все, задача решена.
Пусть $a=uvw(u+w+v)$
Тогда, после преобразований:
$z=uvw(u+w)(u+v)(v+w)$

-- 08.07.2011, 13:34 --

Не заметил вашего сообщения)
И ваш и мой варианты подходят
Спасибо за невероятную помощь!)