(u^2v^2+a)(v^2w^2+a)(w^2u^2+a)=z^2

[Sonic86]

Доказать:

$$(\forall u,v,w \in \mathbb{N})(\exists a,z \in \mathbb{N})(u^2v^2+a)(v^2w^2+a)(w^2u^2+a)=z^2$$

Позаимствовано отсюда:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=32179
(я там все свел к эллиптическому уравнению и нашел у него одно частное решение, но в итоге у меня получается $a$ либо целым, либо полуцелым)

(Оффтоп)

подозреваю, что это у меня была стрельба из пушки по воробьям, но что-то иначе никак не выходит

[Clever_Unior]

Возможно следует доказать, что не существует такого а?

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #464798 писал(а):

Возможно следует доказать, что не существует такого а?

Вы же вроде много случаев перебирали и утверждение подтверждалось Надо, наверное, самому попробовать...

[nnosipov]

Целое $a$ всегда существует (это очень просто), а вот натуральное ... Что-то непонятно. Можно попробовать провести всевозможные секущие и касательные через уже имеющиеся целые точки --- глядишь, и повезёт.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #464824 писал(а):

Целое $a$ всегда существует (это очень просто), а вот натуральное ... Что-то непонятно. Можно попробовать провести всевозможные секущие и касательные через уже имеющиеся целые точки --- глядишь, и повезёт.

Дык я пробовал. Я, правда, не все точки искал. Какова структура группы в общем случае - даже представить не могу.

[Clever_Unior]

nnosipov в сообщении #464824 писал(а):

Целое $a$ всегда существует (это очень просто)

Может и очень просто, но все же, пожалуйста, если возможно, объясните, как вы к этому пришли?

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #465176 писал(а):

Какова структура группы в общем случае - даже представить не могу

Здесь важно правильно задачу поставить. Думаю, если это была задача для школьников, то предполагалось найти пару $(a,z)$ целых чисел. Что ещё можно попытаться сделать сравнительно просто, так это попробовать доказать, что на этой кривой бесконечно много рациональных точек (сначала --- для конкретных $u$, $v$, $w$, затем, если картина прояснится --- и для произвольных). Если Вы не специалист в теории эллиптических кривых, то о вычислении группы таких точек (определение её ранга, образующих, а также подгруппы кручения) можно только помечтать.

-- Пн июл 04, 2011 23:49:29 --

Clever_Unior в сообщении #465190 писал(а):

Может и очень просто, но все же, пожалуйста, если возможно, объясните, как вы к этому пришли?

Достаточно провести секущую через точку $(0,u^2v^2w^2)$ и, скажем, точку $(-u^2v^2,0)$. (Это --- естественный подход, но нужно иметь представление о методе секущих и касательных. А можно попросту угадать соответствующее тождество --- это уж как повезёт.)

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

Думаю, если это была задача для школьников

Для школьников. Но я-то сам не спец. Надо было может эмпирически поковырять, может быть нашел бы простое решение.

nnosipov писал(а):

Если Вы не специалист в теории эллиптических кривых, то о вычислении группы таких точек (определение её ранга, образующих, а также подгруппы кручения) можно только помечтать.

Я и помечтал

nnosipov писал(а):

Достаточно провести секущую через точку $(0,u^2v^2w^2)$ и, скажем, точку $(-u^2v^2,0)$. (Это --- естественный подход, но нужно иметь представление о методе секущих и касательных. А можно попросту угадать соответствующее тождество --- это уж как повезёт.)

У меня рациональная кривая была $y^2=(1+x)(r^2+x)(s^2+x)$. Точки соответственно $(0;rs)$ и $(-1;0)$. Ааа! А я ведь просто сумму искал не подумавши, а можно было просто секущую!
Блин

[Clever_Unior]

nnosipov в сообщении #465191 писал(а):

Достаточно провести секущую через точку $(0,u^2v^2w^2)$ и, скажем, точку $(-u^2v^2,0)$. (Это --- естественный подход, но нужно иметь представление о методе секущих и касательных. А можно попросту угадать соответствующее тождество --- это уж как повезёт.)

Если не сложно, пожалуйста, посоветуйте какую-либо литературу по этой теме, к сожалению, я с ней не знаком, да и не могу найти ничего по этому поводу. И по секущим, и по кривым.

[nnosipov]

Clever_Unior в сообщении #465496 писал(а):

Если не сложно, пожалуйста, посоветуйте какую-либо литературу по этой теме, к сожалению, я с ней не знаком, да и не могу найти ничего по этому поводу..

Вот эту статью можно посмотреть: http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9710_138.pdf

[Sonic86]

Clever_Union писал(а):

Если не сложно, пожалуйста, посоветуйте какую-либо литературу по этой теме, к сожалению, я с ней не знаком, да и не могу найти ничего по этому поводу. И по секущим, и по кривым.

Я Вам Прасолова советовал, но наверное он сложный.
Погуглите Острик Цфасман Алгебраическая геометрия и теория чисел - брошюрка на 50 стр, там сразу же пифагоровы тройки находятся методом секущих.

[Clever_Unior]

nnosipov в сообщении #465191 писал(а):

Если Вы не специалист в теории эллиптических кривых, то о вычислении группы таких точек (определение её ранга, образующих, а также подгруппы кручения) можно только помечтать.

Скажите, пожалуйста, реально ли вообще доказать задачу для натуральных чисел?

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #466315 писал(а):

Скажите, пожалуйста, реально ли вообще доказать задачу для натуральных чисел?

Вы метод секущих попробовали?
Если да, то что получилось?
Если нет, то объясняю кратко: у Вас есть обычная кривая $L: y^2=(1+x)(r^2+x)(s^2+x)$ и на ней 2 точки $(0;rs)$ $(-1;0)$. Вы проводите через эти 2 точки прямую $p$. Поскольку $L$ - алгебраическая кривая 3-й степени и $p$ пересекает ее в 3-х точках (убедитесь в этом, построив чертеж), причем 2 из этих точек имеют рациональные координаты, то 3-я точка тоже имеет рациональные координаты. Вам нужно лишь найти выражения для координат 3-й точки, а потом преобразовать их к выражению для $a$.

(Оффтоп)

Я еще сам не пробовал, у меня просто времени нету

[Clever_Unior]

Спасибо за подсказку. Я изучал книги, которые вы посоветовали, не совсем понял, сейчас буду пробовать еще!

[Clever_Unior]

Честно говоря, даже после прочтения не очень понял...
Чтобы построить кривую я беру произвольные w,v,u и строю кривую?