(u^2v^2+a)(v^2w^2+a)(w^2u^2+a)=z^2

[Коровьев]

Можно рассмотреть более общее эллиптическое уравнение
$y^2 = (x + m^2 )(x + n^2 )(x + h^2 )$
с различными целыми m,n,h имеет, как минимум, 4 целочисленных решения.
Тривиальное $x=0$.
Также
$x = mn + nh + hm$.
Имеем:
$(mn + nh + hm + m^2 )(mn + nh + hm + n^2 )(mn + nh + hm + h^2 ) = $
$=[(m + n)(m + h)][(n + m)(n + h)][(h + m)(h + n)] = (m + n)^2 (n + h)^2 (h + m)^2 $
И ещё пара решений
$ x = - mn + nh - hm $
$ x = - mn - nh + hm $

[Sonic86]

От исходного уравнения еще вопросик: доказать, что решение при $w=u+v$ и $a \in \mathbb{N}$ решение уравнения $(u^2v^2+a)(u^2w^2+a)(v^2w^2+a)=z^2$ единственно (я не проверял, но похоже, что это так).

Коровьев писал(а):

Можно рассмотреть более общее эллиптическое уравнение
$y^2 = (x + m^2 )(x + n^2 )(x + h^2 )$

Вы, кстати, можете что-нибудь про ранг таких кривых сказать? Ну пожаалуйста!

[Коровьев]

Sonic86 в сообщении #466430 писал(а):

Вы, кстати, можете что-нибудь про ранг таких кривых сказать? Ну пожаалуйста!

Не, не скажу. Во первых, потому что ничего не знаю , а во вторых, по имеющемуся у меня сведению, все эллиптические кубические кривые, имеющие рациональную точку можно преобразовать к такому виду, где $m,n,h$ корни некого кубического уравнения с рациональными коэффициентами.

[Clever_Unior]

Sonic86 в сообщении #466430 писал(а):

От исходного уравнения еще вопросик: доказать, что решение при $w=u+v$ и $a \in \mathbb{N}$ решение уравнения $(u^2v^2+a)(u^2w^2+a)(v^2w^2+a)=z^2$ единственно (я не проверял, но похоже, что это так).

Это не так. В случае, когда $u=v=1,w=2,z=\sqrt{a+1}(a+4)$

[Sonic86]

Clever_Unior в сообщении #466440 писал(а):

Sonic86 в сообщении #466430 писал(а):

От исходного уравнения еще вопросик: доказать, что решение при $w=u+v$ и $a \in \mathbb{N}$ решение уравнения $(u^2v^2+a)(u^2w^2+a)(v^2w^2+a)=z^2$ единственно (я не проверял, но похоже, что это так).

Это не так. В случае, когда $u=v=1,w=2,z=\sqrt{a+1}(a+4)$

Гм. А если взять $u \neq v$ (просто при $v=u$ решения легко подбираются )

Коровьев в сообщении #466438 писал(а):

Не, не скажу. Во первых, потому что ничего не знаю , а во вторых, по имеющемуся у меня сведению, все эллиптические кубические кривые, имеющие рациональную точку можно преобразовать к такому виду, где $m,n,h$ корни некого кубического уравнения с рациональными коэффициентами.

Серьезно!? Т.е. получается, что это решение эллиптических уравнений почти что в общем виде?
А $y^2=x^3+1$ тоже можно преобразовать к такому виду? А откуда такое утверждение?

[Коровьев]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #466442 писал(а):

Серьезно!? Т.е. получается, что это решение эллиптических уравнений почти что в общем виде?
А $y^2=x^3+1$ тоже можно преобразовать к такому виду? А откуда такое утверждение?

Не всё так просто. Чтобы найти эти злосчастные корни надо знать рациональную точку. Но тогда и корни не нужны. Крути её и получай новые решения.
Что до приведённого уравнения, то его и преобразовывать не надо.
$x^3+1=(x+1^2)(x+\varepsilon^2 )(x+\varepsilon^4 )$
где $\varepsilon $ является корнем уравнения
$x^2-x+1$
"А откуда..." У меня есть в компе простенькое доказательство сего утверждения. Здесь не буду оффтопить, открою тему в дискуссионном разделе. Ближе к ночи.

[Sonic86]

Коровьев в сообщении #466511 писал(а):

Что до приведённого уравнения, то его и преобразовывать не надо.
$x^3+1=(x+1^2)(x+\varepsilon^2 )(x+\varepsilon^4 )$
где $\varepsilon $ является корнем уравнения
$x^2-x+1$

Ааа! Так Вы про комплексные корни. Тогда утверждение очевидно