посчитать или упростить сумму

[Naatikin]

$\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1-p)^{n-k}$
как такой ряд посчитать или упростить?

[vlad_light]

Если это ряд, т.е. $n\to\infty$, тогда он расходится(условно).
Если $n<\infty$, то
$\sum\limits_{k=0}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}=$
$=\sum\limits_{k=0}^n n\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^k(1-p)^{n-k}=n\sum\limits_{k=0}^n C_{n-1}^{k-1} p^k(1-p)^{n-k}$
Дальше нужно поменять индексы.

[Sonic86]

vlad_light в сообщении #465608 писал(а):

Дальше нужно поменять индексы.

А зачем? Надо было сначала отдельно вынести 0-й член суммы, а теперь это уже просто бином Ньютона.

[--mS--]

vlad_light в сообщении #465608 писал(а):

то
$\sum\limits_{k=0}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}=$
$=\sum\limits_{k=0}^n n\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^k(1-p)^{n-k}=n\sum\limits_{k=0}^n C_{n-1}^{k-1} p^k(1-p)^{n-k}$

Судя по цепочке абсурдных равенств, Вы хорошо умеете: делить ноль на ноль, вычислять факториалы отрицательных (хорошо хоть, целых) чисел, равно как и количества сочетаний из натуральных чисел по минус единице. Есть предложение не учить этому ТС.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #465924 писал(а):

вычислять факториалы отрицательных (хорошо хоть, целых) чисел,

Чего ж хорошего-то. Ладно б наоборот...

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #465966 писал(а):

Чего ж хорошего-то. Ладно б наоборот...

Ну, о гамма-функции речь явно не шла Зато студента, который для $\xi\sim\Pi_\lambda$ предъявляет $\mathsf P(\xi=-3,7)$ в виде $\dfrac{\lambda^{-3,7}}{(-3,7)!}\,e^{-\lambda}$, обычно убивают канделябром. А за $\mathsf P(\xi=-1)=\dfrac{\lambda^{-1}}{(-1)!}\,e^{-\lambda}$ всего лишь зачётки в окно выбрасывают...

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #466044 писал(а):

А за $\mathsf P(\xi=-1)=\dfrac{\lambda^{-1}}{(-1)!}\,e^{-\lambda}$ всего лишь зачётки в окно выбрасывают...

А за что?!!... Это ж правда. Пусть они этого и не знают.

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #466054 писал(а):

А за что?!!... Это ж правда. Пусть они этого и не знают.

Выше я уже намекала на традиционность своей ориентации, согласно которой факториал и гамма-функция суть вещи не одинаковые

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #466063 писал(а):

на традиционность своей ориентации, согласно которой факториал и гамма-функция суть вещи не одинаковые

Я хоть и традиционал, но не до такой же степени. Такое отождествление как минимум полезно, а иногда и необходимо. Скажем: вот почему для функций Бесселя целого порядка получается, что $J_n(x)$ и $J_{-n}(x)$ пропорциональны?... -- да нет, всё даже гораздо хуже: что это вообще за зверь -- функция Бесселя целого отрицательного порядка?...

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #466071 писал(а):

Такое отождествление как минимум полезно, а иногда и необходимо.

Никакие примеры того, что полезно считать гамма-функцию обобщением факториала, не являются обоснованием того, что от понятия факториала следует полностью отказаться в пользу гамма-функции. Вякому овощу своё место и время.

[Gortaur]

(Оффтоп)

У г-на Naatkin'a просто талант вызывать оффтоп в своем топике. Правда почему-то всегда есть общий оффтопер.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #466106 писал(а):

У г-на Naatkin'a просто талант вызывать оффтоп в своем топике. Правда почему-то всегда есть общий оффтопер.

У Вас есть какие-то альтернативные предложения по развитию содержания топика? Мы всего лишь ждём, когда либо ТС скажет, что он всё сделал, исправив глупости в формулах выше, либо задаст новые вопросы. Например, обнаружив для себя альтернативные способы вычисления указанного матожидания.

(Оффтоп)

Вот чего лет 20 никак не могу понять, так это мотивации товарищей, борющихся на форумах за 100%-е соответствие обсуждения первоначальному топику. Как они, бедные, в компании за столом беседу поддерживают? Тоже "не уклоняйтесь от заявленной темы!"?

[ewert]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #466106 писал(а):

У г-на Naatkin'a просто талант вызывать оффтоп в своем топике.

Ну уж. Кажется, всего лишь % так в 50 случаев.

Да, кстати, отвлекаясь от святого дела -- оффтопика:

--mS-- в сообщении #465924 писал(а):

Судя по цепочке абсурдных равенств, Вы хорошо умеете:

(только сейчас удосужился вчитаться). Это уж явный перебор. Хоть vlad_light и не ТС, повинен он всего лишь в одном: забыл заменить с самого начала нолик в нижнем пределе на единичку (но явно это подразумевал). В остальном всё абсолютно верно.

[--mS--]

ewert в сообщении #466124 писал(а):

(только сейчас удосужился вчитаться). Это уж явный перебор. Хоть vlad_light и не ТС, повинен он всего лишь в одном: забыл заменить с самого начала нолик в нижнем пределе на единичку (но явно это подразумевал). В остальном всё абсолютно верно.

Не знаю, из чего вытекает Ваш оптимизм, но мой пессимизм опирается на многочисленные наблюдения: всякий раз, когда я получаю от студента такую же цепочку равенств (в этом ли случае, или при вычислении матожидания распределения Пуассона), я, разумеется, выясняю, понимает ли студент, что делает и просто "забыл заменить", или не понимает, и ему всё равно, какие индексы пробегает переменная суммирования, так же как и всё равно в дальнейшем, сколько чего складывать в биноме Ньютона или в разложении экспоненты в ряд - хоть от минус трёх, хоть от двух начинается суммирование. Так вот: всегда, безо всяких исключений, оказывается, что никто ничего не "забыл", а просто не понимает, что делает. Опираясь на эту статистику (а это не менее 10 аналогичных случаев ежегодно), не вижу никакого повода для оптимизма и в данном случае.

(Оффтоп)

И даже если допустить, что кто-то что-то просто "забыл": тем более не вижу ни малейшего оправдания для такой забывчивости в ветке, где учащийся просит помощи. Лучше уж никакой помощи, чем научить таким преобразованиям, и так и оставить. Топикстартеру и так плохо, у него пробелы в самых нужных вещах, зачем усугублять ситуацию?

[ewert]

--mS-- в сообщении #466177 писал(а):

Не знаю, из чего вытекает Ваш оптимизм,

Объясняю: из стилистики. Вывод точен и лаконичен, без детального рассусоливания, но и без явных лакун (ну разве что в самом конце конкретную замену стоило бы предъявить, но тут уж и модераторы могли бы проявить какую нибудь обидчивость). Поневоле напрашивается вывод: автор понимает, что пишет.

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #466177 писал(а):

тем более не вижу ни малейшего оправдания для такой забывчивости в ветке, где учащийся просит помощи.

Напомню: рассеянность свелась всего лишь к одной цифирке, явно размноженной копипастением. А Вы уж каких только ушатов не вылили, причём без разбору. Вот это -- пониманию уж точно не поспособствует.