пара задач на отображения

[Dan B-Yallay]

Цитата:

есть ли множества устойчивые, но не инвариантные?

Рассмотрите лучи, параллельные заданному вектору.

[ewert]

VAL в сообщении #465787 писал(а):

Так вот, именно сдвиг дает простейший пример преобразования, матрица которого имеет нетривиальную (недиагональную) жорданову форму.

Да ради бога. Только стартовая-то задачка -- 350% не про в этом смысле сдвиг.

[VAL]

ewert в сообщении #465831 писал(а):

VAL в сообщении #465787 писал(а):

Так вот, именно сдвиг дает простейший пример преобразования, матрица которого имеет нетривиальную (недиагональную) жорданову форму.

Да ради бога. Только стартовая-то задачка -- 350% не про в этом смысле сдвиг.

Угу. Поэтому я и говорю о путанице в терминологии. Полагаю, (пропавший) топикстартер выступил лишь транслятором. А вот откуда взялся текст задания - интересно.

PS: А почему всего на 350%? :)

[ean]

Доброе утро! Я никуда не пропал пока.
По контексту задач - это задачки из первого тома Зорича (I.3 задачи 9a,c), первой вводной главы.
Сдвиг я определил как $f_1(x,y)=(x+a,y+b)$ из контекста первой задачи о поиске устойчивых множеств относительно сдвига плоскости на данный лежащий на ней вектор. Это правильно или всё-таки нужно пользоваться $f_1(x,y)=(x+ky,y)$?

Gortaur в сообщении #465697 писал(а):

Я думаю, что ко второй задачу можно применить теорему Банаха о сжимающих отображениях

Я знаю теорему о сжимающих отображениях, но с ней задачка не задачка, поэтому я хотел обойтись более простыми средствами.

ewert в сообщении #465705 писал(а):

И не может получиться: для существования неподвижной точки малость альфы вовсе не обязательна, она лишь гарантирует такое существование.

Спасибо, я понял.

Dan B-Yallay в сообщении #465817 писал(а):

Рассмотрите лучи, параллельные заданному вектору.

Спасибо.

(Оффтоп)

VAL в сообщении #465787 писал(а):

PPS: Только что принимал экзамен по аффинной геометрии. Попробовал бы мне какой-нибудь студент сказать, что сдвиг и параллельный перенос - синонимы... Впрочем, пробуют и не такое.

Ну вот от таких ляпов я и пытаюсь избавляться, читая Зорича и прорешивая в нём задачки.

-- Чт июл 07, 2011 09:55:07 --

Ещё на ту же тему

Цитата:

Считая преобразования Лоренца отображениями плоскости на себя, при которых точка с координатами $(x,t)$ переходит в точку с координатами $(x',t')$, найдите инвариантные множества этих преобразований.

Преобразования Лоренца:
$\begin{cases} x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\\ t'=\dfrac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\\ \end{cases}$
Правильно я понимаю, что нужно просто решить систему?
$\begin{cases} x=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\\ t=\dfrac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\\ \end{cases}$

[ewert]

Кстати, по поводу второй задачки. "Сударыня, Вас обманули: Вам дали гораздо лучший мех!" Докажите, что неподвижная точка существует вообще при любой нетривиальной гомотетии, т.е. когда есть хоть какое-то растяжение или сжатие. Это легко получается как из Ваших выкладок, так и из принципа сжимающих отображений.

-- Чт июл 07, 2011 11:13:54 --

ean в сообщении #465998 писал(а):

Правильно я понимаю, что нужно просто решить систему?

Нет, неправильно: инвариантными множествами (нетривиальными) будут каждое из двух собственных подпространств матрицы, задающей правую часть. Можно предварительно перейти к системе единиц, в которой $c=1$ (т.е. сделать соответствующую замену) -- тогда матрица окажется симметричной.

[ean]

ewert в сообщении #466002 писал(а):

Докажите, что неподвижная точка существует вообще при любой нетривиальной гомотетии

$\alpha^2-2\alpha \cos \varphi + 1 \neq 0$, рассмотрим $\alpha \neq 0$
$\cos \varphi \neq \dfrac{\alpha^2+1}{2\alpha} \implies (\dfrac{\alpha^2+1}{2\alpha} > 1) \lor (\dfrac{\alpha^2+1}{2\alpha} < -1) \iff \alpha \neq \pm 1$

[ewert]

Ну да, но проще попытаться решить формально: дискриминант уравнения $\alpha^2-2\alpha \cos \varphi + 1=0$ неотрицателен только при $\cos\varphi=\pm1$, а тогда и $a=\pm1$. А как насчёт сжимающих отображений?

Да, насчёт Лоренца. Там, помимо тех двух осей, инвариантной будет и любая гипербола из соответствующим образом повёрнутого семейства. И любое подсемейство этого семейства гипербол. И, наоборот, на каждой гиперболе можно выделить дискретные инвариантные подмножества. Я чего-то перестал понимать: чего Зорич и вообще хотел-то, говоря об "инвариантных подмножествах"? Вот термин "инвариантное подпространство" -- вполне недвусмысленен; а что такое "инвариантное подмножество"?...

[Gortaur]

ewert
Там вроде приставка "под" отсутствует. Или инвариантное множество = инвариантное подмножество?

[ewert]

Приставка подразумевается, не в ней дело. Каков вообще критерий выделения таких подмножеств?... Скажем, объединение любого набора инвариантных подмножеств --тоже инвариантно. (Для подпространств подобного вопроса не возникает: объединение подпространств -- это не подпространство.)

[ean]

Формулировка в задаче такая: множество $I \subset X$ называется инвариантным относительно отображения $f: X \to X$, если $f(I)=I$.
Условие в задаче

Цитата:

Найти инвариантные множества этих преобразований

-- Чт июл 07, 2011 11:35:14 --

С преобразованиями Лоренца я пошел сложным путем, нашел собственные значения матрицы оператора этого преобразования, дальше собственные вектора, получил такие $(x, \pm \dfrac{x}{c})$, то есть относительно множества точек такого вида это преобразование инвариантно.

-- Чт июл 07, 2011 11:43:22 --

ewert в сообщении #466018 писал(а):

А как насчёт сжимающих отображений?

Сжимающее отображение полного метрического пространства имеет единственную неподвижную точку. В данном случае гомотетия с $\alpha < 1$ сжимающее отображение на полном метрическом пространстве, то есть условия теоремы выполняются.

[ewert]

ean в сообщении #466027 писал(а):

$(x, \pm \dfrac{x}{c})$,

Это правда. Но не только эти линии инвариантны.

ean в сообщении #466027 писал(а):

множество $I \subset X$ называется инвариантным относительно отображения $f: X \to X$, если $f(I)=I$.

Ну вообще-то обычно не равенство, а лишь вложение, но в данном случае это не важно, поскольку отображение не вырождено. Всё равно -- слишком велика степень неопределённости понятия. В каких терминах такие множества описывать?...

-- Чт июл 07, 2011 12:59:45 --

ean в сообщении #466027 писал(а):

гомотетия с $\alpha < 1$ сжимающее отображение на полном метрическом пространстве,

Сформулировано неаккуратно (неполно), но в принципе верно. А что насчёт $\alpha>1$?...

[VAL]

ean в сообщении #465998 писал(а):

По контексту задач - это задачки из первого тома Зорича (I.3 задачи 9a,c), первой вводной главы.
Сдвиг я определил как $f_1(x,y)=(x+a,y+b)$ из контекста первой задачи о поиске устойчивых множеств относительно сдвига плоскости на данный лежащий на ней вектор. Это правильно или всё-таки нужно пользоваться $f_1(x,y)=(x+ky,y)$?

Судя по тому, что речь идет о "сдвиге плоскости на данный вектор", речь идет не о том сдвиге, который сдвиг, а о "сдвиге", который, на самом деле, параллельный перенос. Ведь настоящий сдвиг нельзя задать указав "вектор сдвига".

Просто я еще раз убедился, что даже авторы книг, претендующих на солидность, зачастую вольно обращаются с терминологией :(

PS: На всякий случай (все же, Зорич - авторитет), заглянул в десяток книг, включая мат. энциклопедию. Во всех источниках под сдвигом понимают то преобразование, о котором писал я. И ни разу параллельный перенос.

[ean]

ewert в сообщении #466035 писал(а):

Но не только эти линии инвариантны

Чтобы точно найти все инвариантые множества (подпространства) нужно привести оператор к жордановой форме?

ewert в сообщении #466035 писал(а):

А что насчёт $\alpha > 1$?...

Не вполне понял вопрос. С помощью теоремы о сжимающих отображений мы можем говорить о существовании неподвижной точки только для случаев, когда $|\alpha| < 1$, для $\alpha > 1$ мы не можем точно сказать есть неподвижная точка или нет.

ewert в сообщении #466035 писал(а):

Сформулировано неаккуратно (неполно)

$|\alpha|<1, \alpha \neq 0$, так правильно?

[ewert]

ean в сообщении #466773 писал(а):

Чтобы точно найти все инвариантые множества (подпространства) нужно привести оператор к жордановой форме?

В принципе -- да. Только вот множества -- это не обязательно "подпространства".

ean в сообщении #466773 писал(а):

для $\alpha > 1$ мы не можем точно сказать есть неподвижная точка или нет.

Между прочим, можем, и именно ссылкой на сжимаемость, надо лишь соответственным образом переформулировать утверждение.

ean в сообщении #466773 писал(а):

$|\alpha|<1, \alpha \neq 0$, так правильно?

Нет, не в этом дело. По умолчанию вполне можно считать, что $\alpha>0$. А вот что в любом случае необходимо было сделать -- это явно выписать полное отображение (в операторной форме) и чётко указать, почему оно сжимающее. И если по поводу гомотетии с поворотом какие-то намёки поступали, то по поводу сдвига -- ничего внятного не было.

Кстати, полезно подумать над естественным усилением этого утверждения: доказать, что неподвижная точка существует при вообще любой комбинации этих преобразований, кроме одного трвиального случая.