2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение07.07.2011, 11:33 


07/06/11
1890
А сама пластина нагревается? в смысле она дана нам горячая и её надо охладить и найти распределение температуры со временем или что-то её нагревает, а мы её охлаждаем и надо найти распределение температуры в стабильном состоянии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение07.07.2011, 17:22 


22/11/07
98
Она уже дана нагретая, где то около 1000К и далее не нагревается. Теперь её нужно охладить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение07.07.2011, 20:38 


07/06/11
1890
Привожу своё, довольно грубое решение.

Для начала выведем формулу для изменения температуры поверхности пластины при попадании на ней воды. Причём перегретой воды.
Все параметры воды обозначаем нижним индексом "w", а тела "sb". Изменение внутренней энергии воды равно $$ dF_w= - p_w dV_w  $$ так как вода уже перегрета и при соприкосновении с пластиной испарится почти не меняя температуру. Так же пользуясь тем, что она перегрета опишем её уравнением Менделеева-Клапейрона $$ p_w V_w = \nu_w R T_w = \frac{V_w}{V_\nu} R T_w $$, где $V_\nu $ молярный объём воды. После чего не трудно видеть, что $$ p_w = \frac{R}{V_\nu} T_w $$ и значит $$ dF_w=-\frac{R}{V_\nu} T_w dV_w $$ Используя, что $ m= \rho V $ и соответсвенно $ V= \frac{m}{\rho} $ можно сказать, что $$ \Delta V_w= \frac{m_w}{\rho_g - \rho_w} $$, где $\rho_g $ - плотность водяных паров. И переходя к конечным приращениям можно сказать, что $$ \Delta F_w =- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w} $$
На такоую же величину измениться и свободная энергия пластины $\Delta F_{sb}=- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w}= - S_{sb} \Delta T_{sb} $ откуда не трудно заметить, что $$ \Delta T_{sb}= \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{S_{sb}(\rho_g - \rho_w)} $$
Так как данная величина получается отрицательная, что и понятно почему, то в дальнейшем мы будем обозначать $ \Delta T_{sb} $ её модуль.

Теперь, когда у нас есть выражение описывающее возникающую разность температур на пластине за одно использование воды опишем процессы происходящие в пластине.
Возникшая разность температур породит тепловой поток $$ q=-\lambda \frac{dT}{dx}=\frac{1}{s} \frac{dQ}{dt}  \quad \quad (1)$$, где $s$ - площадь поверхности одной стороны пластины, $T$ - искомая функция распределения, Q - теплота переносимая потоком, $\lambda$ - коэффициент теплопроводности, $x$ - координата, ну и t - время. Так как функция распределения температуры будет симметрична относительно центра пластины, то введём систему координат так, чтобы 0 был в центре пластины и значения x возрастали к её грани и в точке, где грань заканчивается принимал значение $d$, и будем рассматривать случай $ x \in [0,d] $.

Преобразуем уравнение (1)с учетом того, что $ dQ = C dT $ где С- теплоёмкость пластины $$ \frac{C}{S} \frac{dT}{dt} + \lambda \frac{dT}{dx} =0  \quad \quad (2)$$ получим уравнение в частных производных. Решив его - получим искомую функцию распределения.

(привожу не правильный, но довольно-таки похожий на истину способ сведения этого дифура к обычному дифференциальному уравнению и получению из него искомой функции)

Подчёркиваю, это не правильное решение. Я сам об этом знаю
Не будем особо задумываться о математике, поэтому скажем, что при $ t=0 $ искомая функция $ T= T(x,t) $ имеет вид $$ T(x,0)= Ae^x + B $$ тогда очевидно, что $$ \begin{matrix} T(0,0)=T_0=A+B \\ T(d,0)=T_0 - \Delta T_{sb}= Ae^d+B \end{matrix} $$
Где $T_0$ - температура пластины в центре. Решая эту систему получим, что $$ A= \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} $$ $$ B=T_0 - \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} $$ и соответсвенно $$ T(x,0)= \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 $$ Переобозначая $\frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d}=\alpha $ предположим, что $T(x,t)=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) g(t) $, тогда не трудно заметить, что $$ \frac{dT}{dx}= \alpha e^x g(t) $$ $$ \frac{dT}{dt}=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} $$ и подставляя это в уравнение (2) получим $$ \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} + \lambda \alpha e^x g(t) $$ обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. $$ \lambda \alpha e^x g(t) = - \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt}  $$ $$ \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} dt= \frac {dg}{g} $$

(Оффтоп)

Я надеюсь вы меня простите за то, что я не стал это всё полностью преобразовывать

$$ g= exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right) $$
И тогда $$ T(x,t) =\left( \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 \right) exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right)  $$
Подчерку ещё раз, что этот способ очевидно не правильный, но довольно-таки похожий на правильный. $ t \to \infty $

 Профиль  
                  
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение08.07.2011, 12:29 


22/11/07
98
Большое спасибо за такой развернутый ответ.
У меня еще через некоторое время будет моделированное решение (как закончу), которое я сверю с Вашим. Так что может быть точность будет очень достаточной.
Перегретая вода взята исключительно в связи с тем, что высокая температура пластины? Или еще какими-нибудь факторами это обуславливается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение08.07.2011, 13:02 


07/06/11
1890
Pripyat в сообщении #466409 писал(а):
решение (как закончу), которое я сверю с Вашим

Ещё раз предупрежу, что то решение, что я привёл не верное и может немного совпадать с верным.

Pripyat в сообщении #466409 писал(а):
Перегретая вода взята исключительно в связи с тем, что высокая температура пластины?

Ну не только. Конечно считать так проще, но если вы будете брать не перегретую воду, то она будет испаряться куда медленнее и следовательно пластину дольше охлаждать. Если пропускать перегретую воду через маленькое отверстие и обычную воду через такое отверстие под одинаковыми давлениями, то телесный угол, на который будет разлетаться перегретая вода куда больше, чем у простой и для того, чтобы полностью покрыть поверхность пластинки водой понадобится меньше распылителей.
Ну и получать перегретую воду не так уж сложно. Достаточно нагревать её в чистом сосуде. Если перегревать её не сильно, скажем градусов до 150 цельсия, то в перегретом состоянии она может находиться несколько часов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Охлаждение пластины водой (или воздухом)
Сообщение09.07.2011, 17:54 


01/08/09
63
Pripyat
полистайте Кутателадзе: Основы теории теплообмена. Главу 10, например)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group