Привожу своё, довольно грубое решение.
Для начала выведем формулу для изменения температуры поверхности пластины при попадании на ней воды. Причём перегретой воды.
Все параметры воды обозначаем нижним индексом "w", а тела "sb". Изменение внутренней энергии воды равно
![$$ dF_w= - p_w dV_w $$ $$ dF_w= - p_w dV_w $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/e/e6e3d7a8b83dd0e73c8768e2600b87b182.png)
так как вода уже перегрета и при соприкосновении с пластиной испарится почти не меняя температуру. Так же пользуясь тем, что она перегрета опишем её уравнением Менделеева-Клапейрона
![$$ p_w V_w = \nu_w R T_w = \frac{V_w}{V_\nu} R T_w $$ $$ p_w V_w = \nu_w R T_w = \frac{V_w}{V_\nu} R T_w $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92bd5dd9fa8b7e2cb0666dd245dd85c082.png)
, где
![$V_\nu $ $V_\nu $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/2/af2fe151b89e149db576482c5b5ad37b82.png)
молярный объём воды. После чего не трудно видеть, что
![$$ p_w = \frac{R}{V_\nu} T_w $$ $$ p_w = \frac{R}{V_\nu} T_w $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/3/6638fa2b268c4f0432114875c8cff27882.png)
и значит
![$$ dF_w=-\frac{R}{V_\nu} T_w dV_w $$ $$ dF_w=-\frac{R}{V_\nu} T_w dV_w $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/3/e93df71391b1597e6261f06e35d7b73082.png)
Используя, что
![$ m= \rho V $ $ m= \rho V $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/7/e376600d768faf9b30424653a40c2ce082.png)
и соответсвенно
![$ V= \frac{m}{\rho} $ $ V= \frac{m}{\rho} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/1/3819c682b7c49a1712d96371d68496cd82.png)
можно сказать, что
![$$ \Delta V_w= \frac{m_w}{\rho_g - \rho_w} $$ $$ \Delta V_w= \frac{m_w}{\rho_g - \rho_w} $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/8/6288ef1cbd95869c84c68bc220600dfe82.png)
, где
![$\rho_g $ $\rho_g $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/3/4e361d3a713c0ba241f1771587ab64b082.png)
- плотность водяных паров. И переходя к конечным приращениям можно сказать, что
![$$ \Delta F_w =- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w} $$ $$ \Delta F_w =- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/8/1b824f9ef6c4a94551956608474c76c582.png)
На такоую же величину измениться и свободная энергия пластины
![$\Delta F_{sb}=- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w}= - S_{sb} \Delta T_{sb} $ $\Delta F_{sb}=- \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{\rho_g - \rho_w}= - S_{sb} \Delta T_{sb} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/e/a6e1cee52a0c29d6da78523dd45ac19c82.png)
откуда не трудно заметить, что
![$$ \Delta T_{sb}= \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{S_{sb}(\rho_g - \rho_w)} $$ $$ \Delta T_{sb}= \frac{R}{V_\nu} \frac{T_w m_w}{S_{sb}(\rho_g - \rho_w)} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f3a677903f358e788cb38cd0c96229e82.png)
Так как данная величина получается отрицательная, что и понятно почему, то в дальнейшем мы будем обозначать
![$ \Delta T_{sb} $ $ \Delta T_{sb} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/2/6920f9b285b15edbc1e2d395fec7e4b982.png)
её модуль.
Теперь, когда у нас есть выражение описывающее возникающую разность температур на пластине за одно использование воды опишем процессы происходящие в пластине.
Возникшая разность температур породит тепловой поток
![$$ q=-\lambda \frac{dT}{dx}=\frac{1}{s} \frac{dQ}{dt} \quad \quad (1)$$ $$ q=-\lambda \frac{dT}{dx}=\frac{1}{s} \frac{dQ}{dt} \quad \quad (1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/c/73c37990815fac617ac64df0bb4ca5e682.png)
, где
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
- площадь поверхности одной стороны пластины,
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
- искомая функция распределения, Q - теплота переносимая потоком,
![$\lambda$ $\lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/8/fd8be73b54f5436a5cd2e73ba9b6bfa982.png)
- коэффициент теплопроводности,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- координата, ну и t - время. Так как функция распределения температуры будет симметрична относительно центра пластины, то введём систему координат так, чтобы 0 был в центре пластины и значения x возрастали к её грани и в точке, где грань заканчивается принимал значение
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
, и будем рассматривать случай
![$ x \in [0,d] $ $ x \in [0,d] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/b/70ba16586a6460d3e538de9ce797267182.png)
.
Преобразуем уравнение (1)с учетом того, что
![$ dQ = C dT $ $ dQ = C dT $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/8/f88252db929448b8e452babcd6bf421c82.png)
где С- теплоёмкость пластины
![$$ \frac{C}{S} \frac{dT}{dt} + \lambda \frac{dT}{dx} =0 \quad \quad (2)$$ $$ \frac{C}{S} \frac{dT}{dt} + \lambda \frac{dT}{dx} =0 \quad \quad (2)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/5/9d5c42e20e2082f97b2fa2359639543e82.png)
получим уравнение в частных производных. Решив его - получим искомую функцию распределения.
(привожу не правильный, но довольно-таки похожий на истину способ сведения этого дифура к обычному дифференциальному уравнению и получению из него искомой функции)
Подчёркиваю,
это не правильное решение. Я сам об этом знаю
Не будем особо задумываться о математике, поэтому скажем, что при
![$ t=0 $ $ t=0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/a/d1afea0e8dd7bf8110515230a0bb229b82.png)
искомая функция
![$ T= T(x,t) $ $ T= T(x,t) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd5e6e160f93bfe30116b239a0c94d1f82.png)
имеет вид
![$$ T(x,0)= Ae^x + B $$ $$ T(x,0)= Ae^x + B $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/6/026ec7f3f8d62f4b651ccf93cf1545ac82.png)
тогда очевидно, что
![$$ \begin{matrix} T(0,0)=T_0=A+B \\ T(d,0)=T_0 - \Delta T_{sb}= Ae^d+B \end{matrix} $$ $$ \begin{matrix} T(0,0)=T_0=A+B \\ T(d,0)=T_0 - \Delta T_{sb}= Ae^d+B \end{matrix} $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/6/b06e54b6c1343f38a4503efd8e56e5c282.png)
Где
![$T_0$ $T_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/7/9d779a2b4b1c9b861e2bdcc4fdc5f68282.png)
- температура пластины в центре. Решая эту систему получим, что
![$$ B=T_0 - \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} $$ $$ B=T_0 - \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/c/0bc4e2ef3771eba8bd25e9d56edb1e1d82.png)
и соответсвенно
![$$ T(x,0)= \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 $$ $$ T(x,0)= \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ec955119eadba62a301b85967b15c2782.png)
Переобозначая
![$\frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d}=\alpha $ $\frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d}=\alpha $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/3/d83dab5631ebfa082f98b3392772573b82.png)
предположим, что
![$T(x,t)=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) g(t) $ $T(x,t)=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) g(t) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db4fe858f668e1e466bf2ffe789adfb182.png)
, тогда не трудно заметить, что
![$$ \frac{dT}{dt}=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} $$ $$ \frac{dT}{dt}=\left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/9/1d9cd8cb45761013f2c4277fa830489282.png)
и подставляя это в уравнение (2) получим
![$$ \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} + \lambda \alpha e^x g(t) $$ $$ \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right) \frac{dg}{dt} + \lambda \alpha e^x g(t) $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/2/6c27017fca4264c7237b6cb5342afc6a82.png)
обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
![$$ \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} dt= \frac {dg}{g} $$ $$ \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} dt= \frac {dg}{g} $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/5/265ed4d65ec519c17e1fae711c4c5f7c82.png)
(Оффтоп)
Я надеюсь вы меня простите за то, что я не стал это всё полностью преобразовывать
![$$ g= exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right) $$ $$ g= exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/a/35a6fbe45960248c3c77cb6214ad3eb182.png)
И тогда
![$$ T(x,t) =\left( \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 \right) exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right) $$ $$ T(x,t) =\left( \frac{\Delta T_{sb}}{1-e^d} (e^x - 1) +T_0 \right) exp \left( \frac{\lambda \alpha e^x}{- \frac{C}{s} \left( \alpha(e^x-1) +T_0 \right)} t \right) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/b/feb83c8ed5ddd6a8426c23d989db632e82.png)
Подчерку ещё раз, что
этот способ очевидно не правильный, но довольно-таки похожий на правильный.
![$ t \to \infty $ $ t \to \infty $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/9/349831828bdeac180e6fc69baf51ae1882.png)