Новое доказательство бесконечного числа простых чисел?

[tess]

То, что число простых чисел бесконечно, доказал впервые Евклид более, чем 2300 лет назад.
Есть другие доказательства этой бесконечности, и, насколько я знаю, все они связаны с доказательством расходимости ряда чисел, обратных простым числам:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+ \frac{1}{p}+... \eqno (1)$$

, где $\frac{1}{p}$ относится ко всем следующим один за другим простым числам $p$. Отталкиваясь от этого, я тоже решил попробовать. Предположим, что ряд $(1)$ сходится, и обозначим сумму этого ряда как $A$.
Нам понадобится ещё расходящийся гармонический ряд:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+ \frac{1}{n}+... $$

Далее рассмотрим сходящийся ряд:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+...+ \frac{1}{x^n}+...\eqno(2)$$

, где $x$ натуральное число, большее $1$. Сумма этого ряда равна $\frac{1}{x-1}$, что меньше или равно $2A$.
Отсюда следует, что $2A$ больше, чем

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+ \frac{1}{2^{n-1}}+...+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...+ \frac{1}{p_i}+\frac{1}{p_i^2}+\frac{1}{p_i^3}+... \eqno(3)$$

Здесь $p_i$ обозначает простые числа, т.е. $2A$ содержит все числа, обратные простым, во всех возможных степенях.
Далее рассмотрим знаменитый ряд Ньютона:

$$ e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\eqno(4)$$

Если наше предположение о том, что ряд $(1)$ сходится, верно, то сходится и следующий ряд:

$$ e^{2A} = 1+\frac{2A}{1!}+\frac{(2A)^2}{2!}+\frac{(2A)^3}{3!}+\frac{(2A)^4}{4!}+...$$

Далее рассмотрим произведение из $n$ одинаковых сомножителей:

$$ \frac{(a_1+a_2+...+ a_i+…)^n}{n!} = \frac{(a_1+a_2+...+ a_i+…)(…)(…)...(…)}{n!} $$

Возьмём, например, $n=5$ и произведение $a_1a_4a_7a_8a_i$. Имеется всего $n!$ вариантов для выбора скобок (множитель $a_1$ из первых скобок, $a_4$ из вторых скобок, $a_7$ из третьих скобок, $a_8$ из четвёртых скобок и $a_i$ из пятых и т.д.). Отсюда следует, что:

$$ \frac{(a_1+a_2+...+ a_i+…)^n}{n!} = C+i,j,k(n множителей) \sum \frac{n!b_i\cdot...b_k}{n!} = C+i,j,k(n множителей)\sum b_i\cdot...b_k\eqno(5)$$

, где $n$ число множителей.

Здесь буква $C$ обозначает сумму из оставшихся слагаемых произведения после раскрытия скобок (например, для $n = 5$ это $a_1^5/5!, a_2^5/5!$ и т.д.).
Следовательно $e^{2A}$ можно записать как:

$$ e^{2A} = 1+2A+C_1+все возможные произведения \sum b_i\cdot...b_k = 1+2A+C_1+все возможные произведения \sum \frac{1}{p_i^l\cdot...p_k^m} $$

,
смотри $(3)$ и $(5)$. Здесь означают $p_i, p_k$ как и раньше простые числа, а под знаком суммы находятся все возможные произведения.

Известно, что всякое натуральное число можно представить как произведение простых чисел в соответствующих степенях. Легко также понять, что $e^{2A}$, например, дробь $\frac{1}{600} = \frac{1}{2^33^15^2!}$ содержит.
Действительно содержит $e^{2A}$ член

$$ \frac{(2A)^3}{3!} = \frac{(1+...+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...)^3}{6} $$

Согласно $(5)$ содержит это выражение и член, который равен $\frac{1}{8\cdot3\cdot25}\ = \frac{1}{600}$.
Отсюда следует, что ряд $e^{2A}$ (при предположении, что $(1)$ сходится) содержит весь гармонический ряд. Но гармонический ряд расходится!
Это означает, что ряд $(1)$ тоже расходится, и не существует последнего простого числа.

Заменил \egon-ы на \eqno. //АКМ

[AKM]

Тема перемещена из "Дискуссионных тем (М)" в карантин для исправления формул.
Ваши $pi$ - это p_i ($p_i$) или \pi ($\pi$)? Там много и других несуразиц. Рекомендую также конструкцию
$$ (выражение) \eqno(1)$$
(с двойными долларами) для нумерованных формул. Дроби: \frac{верх}{низ}.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[migmit]

tess в сообщении #463556 писал(а):

Сумма этого ряда равна $\frac{1}{x-1}$, что меньше или равно $2A$.

Почему, собственно?

[Gortaur]

А зачем это снова доказывать, тем более что доказательство Евклида выглядит попроще.

[nnosipov]

tess в сообщении #463556 писал(а):

Есть другие доказательства этой бесконечности, и, насколько я знаю, все они связаны с доказательством расходимости ряда чисел, обратных простым числам ...

Это не так, доказательства самые разнообразные (есть и очень экзотические --- например топологическое). Рекомендую посмотреть статью А. Эвнина "Девятнадцать доказательств теоремы Евклида" в журнале "Квант" (2001, № 1).

[vorvalm]

Предлагаю самое простое доказательство бесконечности
простых чисел.
Надо рассмотреть ПСВ (приведенную систему вычетов) по модулю $M=\prod_2^{p_r} {p_r}$.
Если $p_r$ последнее простое число, то в этой ПСВ есть целый интервал простых чисел от $p_{r+1}$ до $p^2_{r+1}$

[Батороев]

vorvalm в сообщении #465977 писал(а):

Предлагаю самое простое доказательство бесконечности
простых чисел.
Надо рассмотреть ПСВ (приведенную систему вычетов) по модулю $M=\prod_2^{p_r} {p_r}$.
Если $p_r$ последнее простое число, то в этой ПСВ есть целый интервал простых чисел от $p_{r+1}$ до $p^2_{r+1}$

Можно рассмотреть проще:
Если $p_r$ - последнее простое число, то какими являются числа, взаимнопростые примориалу $p_r\#$, превосходящие $p_r$?!

-- 07 июл 2011 13:43 --

Хотя, и это будет лишь "расширением" доказательства Евклида, т.к. число $(p_r\#+1)$ всегда является взаимнопростым к примориалу.

[tess]

Это не так, доказательства самые разнообразные (есть и очень экзотические --- например топологическое). Рекомендую посмотреть статью А. Эвнина "Девятнадцать доказательств теоремы Евклида" в журнале "Квант" (2001, № 1).
Значит, моё будет ещё одним. Может идея доказательства пригодится.
Имеется несколько сотен доказательства теоремы Пифагора...

[AKM]

tess,

оформляйте цитаты именно как цитаты. Делается это просто.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #465965 писал(а):

Это не так, доказательства самые разнообразные (есть и очень экзотические --- например топологическое). Рекомендую посмотреть статью А. Эвнина "Девятнадцать доказательств теоремы Евклида" в журнале "Квант" (2001, № 1).

Прочел. Классно! Есть еще какие-нибудь результаты с применением этой конструкции. По имени автора ничего не нагуглил

[nnosipov]

tess в сообщении #466012 писал(а):

Значит, моё будет ещё одним.

Для этого придётся постараться. Пока никакого доказательства нет, есть просто нечитаемый текст, одна формула (5) чего стоит. Если Вы хотите, чтобы Вас читали, придерживайтесь общепринятых правил написания математических текстов.

[ewert]

tess в сообщении #466012 писал(а):

Имеется несколько сотен доказательства теоремы Пифагора...

В принципе, эта ветка более уместна в разделе Олимпиадные Задачи:

"Привести 2011 разных доказательств бесконечности множества простых чисел"...

[hurtsy]

ewert в сообщении #466109 писал(а):

В принципе, эта ветка более уместна в разделе Олимпиадные Задачи:

"Привести 2011 разных доказательств бесконечности множества простых чисел"...

"Скурпулезно замечено" , к тому же каждый год можно прибавлять единичку , но ведь есть сомнения в валидности доказательств топик-стартера.

tess в сообщении #463556 писал(а):

рассмотрим сходящийся ряд:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+...+ \frac{1}{x^n}+...\eqno(2)$$

, где $x$ натуральное число, большее $1$. Сумма этого ряда равна $\frac{1}{x-1}$, что меньше или равно $2A$.
Отсюда следует, что $2A$ больше, чем

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+ \frac{1}{2^{n-1}}+...+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...+ \frac{1}{p_i}+\frac{1}{p_i^2}+\frac{1}{p_i^3}+... \eqno(3)$$

Здесь $p_i$ обозначает простые числа, т.е. $2A$ содержит все числа, обратные простым, во всех возможных степенях.

Согласно $\eqno(2)$ формулу $\eqno(3)$ можно записать в виде

$$ 1 + 1 + \frac 1 2 + ... + \frac 1{p_i-1} + ...$$

, что строго больше $A$
другими словами нужно доказать утверждение

Цитата:

Отсюда следует, что $2A$ больше суммы в формуле $(3)$

С уважением,

[tess]

Прошу прощения у участников за неточности в доказательстве. Ряд (2), геометрическая прогрессия, сумма его $\frac{1}{x-1}$, что меньше или равно $\frac{2}{x}$ (а не $2A$) (равенство только при
$x = 2$).
Теперь ясно, что $2A$ больше ряда (3) (этот ряд должен быть записан без первой 1). Дальше не нужны плохо написанные формулы (5) и т.д. При раскрытии произведения из одинаковых скобок важно только одно произведение из всех членов, заключённых в скобках (когда сокращаются факториалы). Именно в них содержатся все члены гармонического расходящегося ряда, что приводит к противоречию.
Для чего нужны новые доказательства см. замечательную статью А.Эвнина в "Квант" 1, 2001 (это совет одного участника). Новым доказательством является даже вычитание 1 вместо плюс 1 в доказательств Евклида.
Что касается предложения ewert перенести тему в раздел олимпиадных задач под названием "2011 доказательств бесконечности числа простых чисел", то пусть покажет хоть одно своё оригинальное решение. Глядишь, когда-нибудь будет упомянут в одном ряду с Евклидом, Эйлером и т.д. Или слабо и проще давать уничижительные советы?

[hurtsy]

Утверждение

tess в сообщении #473875 писал(а):

Теперь ясно, что $2A$ больше ряда (3)

не имеет никаких преимуществ против утверждения

tess в сообщении #463556 писал(а):

Отсюда следует, что $2A$ больше, чем

в отношении "доказательности".
Доказывать Вы не умеете. Сформулируйте пожалуйста, в чем Вы видите новизну Вашего доказательства, хотя бы по отношению к доказательству Ейлера в изложении Фихтенгольца.(Курс ДиИИ, том 2, М., 1969,стр. 362-363).
С уважением,