Предкомпактное множество в C[a,b] (теорема Арцела)

[Cat]

При каких a и b множество $D=\{ t^n, n \in N \}$ будет предкомпактным в $C[a,b]$?
Пользуюсь теоремой Арцела.
Получаю, что при $-1\leqslant a<b\leqslant 1$ выполняется равномерная ограниченность, т.к $|t^n|\leqslant 1$, но проверить равностепенную непрерывность не получается, помогите, пожалуйста.

[RIP]

Если $a=-1$ или $b=1$, то нет равностепенной непрерывности.
Если $-1<a<b<1$, то равностепенная непрерывность есть.

[Cat]

А как ее проверить, оценить |t_1^n-t_2^n|,если |t_1-t_2|<\delta ?

[RIP]

Равностепенную непрерывность можно проверить, например, так. Доказать, что первые производные равномерно ограничены. Потом воспользоваться теоремой Лагранжа о конечных приращениях.

[Cat]

Требуется использовать теорему Арцела все же.

[RIP]

Я имел в виду не предкомпактность, а равностепенную непрерывность, поправил свой пост.

[Cat]

Получается, что f'(t)=n*t^{n-1}, |f'(t)|\leq nТогда по теореме Лагранжа |t_1^n-t_2^n|\leq n*|t_1-t_2|. Справедлива ли такая оценка?

[RIP]

Cat писал(а):

Получается, что f'(t)=n*t^(n-1), |f'(t)|\leq nТогда по теореме Лагранжа |t_1^n-t_2^n|\leq n*|t_1-t_2|. Справедлива ли такая оценка?

Такая оценка справедлива, но она ничего не дает. Вам надо написать нер-во $|f'(t)|\le C$, где $C$ не зависит ни от $t$, ни от $n$, только от $a,b$. Это можно сделать при $-1<a<b<1$.

Добавлено спустя 2 часа 24 минуты 7 секунд:

Явный вид константы $C$ можно и не вычислять

[Cat]

А оно следует из того что функция равномерна ограничена?

[Brukvalub]

Cat писал(а):

А оно следует из того что функция равномерно ограничено?

Добавлено спустя 34 секунды:

Cat писал(а):

А оно следует из того, что функция равномерно ограничена?

Равномерно (то есть, одновременно) ограниченным может быть семейство функций, а одна функция бывает просто ограниченной. Но и из равномерной ограниченности равностепенная непрерывность не следует.

[Cat]

А из того, что множество функций равномерно ограничено, следует, что множество производных равномерно ограничено?

[Brukvalub]

Cat писал(а):

А из того, что множество функций равномерно ограничено, следует, что множество производных равномерно ограничено?

Не следует. Например, это не выполняется для рассматриваемого Вами множества на отрезке [0 ; 1].

[Cat]

Кроме приведенной выше оценки, я не могу что-то догадаться как еще оценить производные, n ведь произвольное число и получается что на интервале от (-1,1) множество производных не является равномерно ограниченным?

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что

$$ \mathop {\lim \;n(1 - \varepsilon )^n = 0\quad ,\;0 < \varepsilon < 1}\limits_{n \to \infty } $$

[Cat]

Спасибо. То есть получается, что последовательность |n*t^{n-1}| при |t|<1сходится и следовательно ограничена и поэтому можно воспользоваться теоремой Лагранжа?