пара задач на отображения

[ean]

Помогите пожалуйста разобраться с парой задачек

Цитата:

Задача 1: описать устойчивые (это такие, $f(S) \subset S, S \subset X, f:X \to X$) множества, устойчивые относительно сдвига плоскости на данный лежащий на ней вектор

Я нашёл (подбором по сути) множество точек на прямой, параллельной вектору переноса. Есть ли ещё такие множества? Можно ли как-нибудь аналитически найти эти множества? Ещё меня смущает, что множество получившихся точек - это не только устойчивое, но и инвариантное, есть ли множества устойчивые, но не инвариантные?

Цитата:

Задача 2: проверить, что любая композиция сдвига, вращения и гомотетии плоскости имеют неподвижную точку, если коэффициент гомотетии меньше единицы.

$f_1(x,y) = (x+a,y+b)$ - сдвиг, $f_2=(x \cdot \cos \varphi - y \cdot \sin \varphi, x \cdot \sin \varphi + y \cdot \cos \varphi)$ - вращение, $f_3(x,y)=(\alpha x, \alpha y)$ - гомотетия.
Ищу неподвижную точку $(f_1 \circ f_2 \circ f_3)(x,y)=(x,y)$.
Получаю выражение для $y$ такое $y=\dfrac{a \cdot \alpha \cdot \sin \varphi - b \cdot \alpha \cdot \cos \varphi + b}{\alpha^2-2\alpha\cos\varphi+1}$. Для $x$ получается похожее. Не понимаю как отсюда вытащить, что коэффициент $\alpha$ должен быть меньше единицы. Из $\alpha^2-2\alpha\cos\varphi+1\neq 0$ этого не получается.

[Gortaur]

Я думаю, что ко второй задачу можно применить теорему Банаха о сжимающих отображениях. Сдвиг и вращения - изометрии, гомотетия у Вас сжимающая. Даже если нельзя использовать ссылку на теорему - ее доказательство в двух строчках, можно повторить.

Для первого, очевидно что если $x\in S$ - то $x+at\in S$ где $a$ - данный нам вектор и $t\in \mathbb R$ - любое. То есть какая бы точка не была в $S$ - тогда и вся прямая, проходящая через эту точку параллельно $a$ лежит в $S$. Очевидно, что любая прямая инвариантна, т.о. $S = \bigcup_{x\in A}L(x)$, где $A$ - произвольно и $L(x) = \{x+at:t\in\mathbb R\}$. Думаю, описание достаточно.

[ewert]

ean в сообщении #465687 писал(а):

Не понимаю как отсюда вытащить, что коэффициент $\alpha$ должен быть меньше единицы.

И не может получиться: для существования неподвижной точки малость альфы вовсе не обязательна, она лишь гарантирует такое существование.

Т.е. Вы думаете в сторону, прямо противоположную требуемой. От Вас требуется доказать, что если $|\alpha|<1$, то знаменатель не может обратиться в ноль ни при каких углах.

Gortaur в сообщении #465697 писал(а):

Даже если нельзя использовать ссылку на теорему - ее доказательство в двух строчках, можно повторить.

Вряд ли можно: скорее всего, даже и понятия нормы ещё не было.

Да, и кстати: сдвиг -- это не изометрия (хоть это и не важно).

[Gortaur]

ewert
Можете привести пример пары точек, у которых расстояние изменится при сдвиге?

[ewert]

Gortaur в сообщении #465724 писал(а):

Можете привести пример пары точек, у которых расстояние изменится при сдвиге?

Понятие изометрии определено для действия вовсе не на "пару точек", а на вектор.

[VAL]

Не понял, что тут обсуждают!
Насколько я (а вместе со мной авторы десятка учебников) в курсе, сдвиг - это родство (перспективно-аффинное преобразование), у которого направление родства параллельно оси родства. К параллельному переносу это не имеет никакого отношения.

[ewert]

Да это всё одно и то же, с точностью до терминологии. Только вот изометрией это никак нельзя называть -- термин застолблён.

[VAL]

ewert в сообщении #465730 писал(а):

Да это всё одно и то же, с точностью до терминологии.

Что именно "одно и то же"? Вот цитата из ТС

Цитата:

$f_1(x,y) = (x+a,y+b)$ - сдвиг

Здесь приведены формулы параллельного переноса, который, разумеется, является частным случаем изометрии. Но обзывается все это "сдвигом", который изометрий, конечно. не является. (Формулы сдвига в подходящей системе координат $f_1(x,y) = (x+ky,y)$)

Цитата:

Только вот изометрией это никак нельзя называть -- термин застолблён.

Смотря что.

[Gortaur]

Я согласен, что $\|f_1(z)\|\neq \|z\|$, но насколько я понял из сообщения ТС, имеется ввиду все же преобразования точек, а $\|f_1(z_1) - f_1(z_2)\|\neq \|z_1-z_2\|$, прошу прощение за неграмотность в алгебре.

[ewert]

VAL в сообщении #465743 писал(а):

Здесь приведены формулы параллельного переноса, который, разумеется, является частным случаем изометрии.

Смотря где. Когда разговор ведётся о сжимающих отображениях (а речь шла именно о них), т.е. в терминах теории операторов, то изометрия -- это линейное отображение, сохраняющее норму, и точка. Никакого другого смысла этот термин в данной ситуации иметь не может.

VAL в сообщении #465743 писал(а):

Формулы сдвига в подходящей системе координат $f_1(x,y) = (x+ky,y)$

Ну это только если специально заниматься деформациями сдвига. А если нет, то сдвиг и параллельный перенос -- это синонимы (не считая того, что слово "параллельный" применительно к векторам звучит несколько неграмотно).

[Gortaur]

ewert
Хорошо, значит тутврут. Какой там правильный термин для операторов, сохраняющих норму, но нелинейных?

[VAL]

ewert в сообщении #465753 писал(а):

VAL в сообщении #465743 писал(а):

Здесь приведены формулы параллельного переноса, который, разумеется, является частным случаем изометрии.

Смотря где. Когда разговор ведётся о сжимающих отображениях (а речь шла именно о них), т.е. в терминах теории операторов

Первая задача сформулирована не слишком внятно (по крайней мере, вне контекста). А во второй - речь однозначно ведется об аффинных преобразованиях. И в терминах аффинных преобразований. Гомотетия, вращение, сдвиг - классика аффинных преобразований. Неподвижная точка - тоже. То, что неподвижные точки возникают и при сжимающих отображениях, не являющихся аффинными, не отменяет их рассмотрения при изучении аффинных преобразований.

Цитата:

то изометрия -- это линейное отображение, сохраняющее норму, и точка. Никакого другого смысла этот термин в данной ситуации иметь не может.

Изометрия (движение) - преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Это вполне классическое определение. То, что в задаче идет речь именно о преобразованиях, действующих на точки плоскости, подтверждается и формулами, приведенными топикстартером. Ведь на векторы параллельный перенос (в отличие от сдвига) действует, как тождественное преобразование и никакие $x+a, \ y+b$ не нужны.
Впрочем, каждое аффинное преобразование порождает невырожденный линейный оператор. И оператор, порожденный параллельным переносом, безусловно будет изометрическим :)

Цитата:

VAL в сообщении #465743 писал(а):

Формулы сдвига в подходящей системе координат $f_1(x,y) = (x+ky,y)$

Ну это только если специально заниматься деформациями сдвига. А если нет, то сдвиг и параллельный перенос -- это синонимы

Правда? В каком случае это очередной терминологический казус. Для запутывания вероятного противника :)

PS: Кстати, в теме про геометрию в вузе, я упоминал, что жорданова форма вполне естественно возникает при изучении аффинных преобразований. Так вот, именно сдвиг дает простейший пример преобразования, матрица которого имеет нетривиальную (недиагональную) жорданову форму.

PPS: Только что принимал экзамен по аффинной геометрии. Попробовал бы мне какой-нибудь студент сказать, что сдвиг и параллельный перенос - синонимы...
Впрочем, пробуют и не такое.

[Gortaur]

VAL
Спасибо.

(Оффтоп)

Волгоградец волгоградца в обиду не даст!

[VAL]

Gortaur в сообщении #465793 писал(а):

(Оффтоп)

Волгоградец волгоградца в обиду не даст!

(Оффтоп)

А лейденец лейденца? :)

[Gortaur]

VAL

(Оффтоп)

Возможно :) я просто в ВолГУ учился.