Здесь приведены формулы параллельного переноса, который, разумеется, является частным случаем изометрии.
Смотря где. Когда разговор ведётся о сжимающих отображениях (а речь шла именно о них), т.е. в терминах теории операторов
Первая задача сформулирована не слишком внятно (по крайней мере, вне контекста). А во второй - речь однозначно ведется об аффинных преобразованиях. И в терминах аффинных преобразований. Гомотетия, вращение, сдвиг - классика аффинных преобразований. Неподвижная точка - тоже. То, что неподвижные точки возникают и при сжимающих отображениях, не являющихся аффинными, не отменяет их рассмотрения при изучении аффинных преобразований.
Цитата:
то изометрия -- это линейное отображение, сохраняющее норму, и точка. Никакого другого смысла этот термин в данной ситуации иметь не может.
Изометрия (движение) - преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Это вполне классическое определение. То, что в задаче идет речь именно о преобразованиях, действующих на точки плоскости, подтверждается и формулами, приведенными топикстартером. Ведь на векторы параллельный перенос (в отличие от сдвига) действует, как тождественное преобразование и никакие
![$x+a, \ y+b$ $x+a, \ y+b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/9/d09054b93c1b8dd53de1ff1ebe2d021a82.png)
не нужны.
Впрочем, каждое аффинное преобразование порождает невырожденный линейный оператор. И оператор, порожденный параллельным переносом, безусловно будет изометрическим :)
Цитата:
Формулы сдвига в подходящей системе координат
![$f_1(x,y) = (x+ky,y)$ $f_1(x,y) = (x+ky,y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/c/c8c73a6c5287985b010b505eee83311482.png)
Ну это только если специально заниматься деформациями сдвига. А если нет, то сдвиг и параллельный перенос -- это синонимы
Правда? В каком случае это очередной терминологический казус. Для запутывания вероятного противника :)
PS: Кстати, в теме про геометрию в вузе, я упоминал, что жорданова форма вполне естественно возникает при изучении аффинных преобразований. Так вот, именно сдвиг дает простейший пример преобразования, матрица которого имеет нетривиальную (недиагональную) жорданову форму.
PPS: Только что принимал экзамен по аффинной геометрии. Попробовал бы мне какой-нибудь студент сказать, что сдвиг и параллельный перенос - синонимы...
Впрочем, пробуют и не такое.