Неограниченное случайное блуждание

[Gortaur]

Пусть $s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ где $a_k$ - независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что $\mathsf E a_1 = a$. При каких значениях $a$ выполнятся $\sup\limits_{n\geq 0}s_n>M$ для любых $M$ п.н. и как это показать? Понимаю, что скорее всего при $a\geq 0$, и что надо использовать ЗБЧ или ЦПТ - но как сделать это формально, не знаю.

[Vince Diesel]

Насчет дисперсии ничего не предполагается? Вариант $a_1\equiv0$ не подходит.

[Gortaur]

Тогда скорее всего при $\mathsf E a_1 >0$.

[Vince Diesel]

Закон нуля и единицы Колмогорова? Правда еще надо доказывать, что это не нуль.
Если дополнительно предположить, что дисперсия конечна, тогда это вытекает из неравенства Колмогорова.

[Gortaur]

1. И при чем тут закон нуля и единицы?

2. Неравенство Колмогорова как бы на бесконечном временном промежутке не сильно полезно.

[Vince Diesel]

Может, я чего-то не понимаю, но вроде это хвостовое событие, поскольку не зависит от любого конечного подмножества этих с.в.

[_hum_]

А что, закон повторного логарифма не удается применить?

[Gortaur]

Vince Diesel
Ну, вообще есть примеры, когда эта вероятность нетривиальна, т.е. не ноль и не единица. Например, неравенство Лундберга (Lundberg's inequality) - да и поосторожнее с хвостовыми событиями, они коварны.

_hum_
Удалось показать, что если $S_n$ ограничена сверху с ненулевой вероятностью, то предел $S_n/n$ не больше нуля, если существует, т.о. при $a>0$ получаем неограниченность сверху.

Вопрос теперь - как при $a<0$ показать, что ограниченность есть с некоторой вероятностью - или как построить пример неограниченной п.н. последовательности.

Ну и спасибо за закон повторного логарифма - теперь ясно, что если $0<Var[a_1]<\infty$, то последовательность неограничена сверху.

[_hum_]

Если я правильно понял, и вам нужно установить, при каких условиях ваши суммы будут/не будут п.н. равномерно ограничены сверху, то:
1) если дисперсия существует, то из закона повторного логарифма вытекает, что равномерная ограниченность сверху будет только при $a < 0$;
2) если дисперсия не существует, то как вытекает из написано тут [url]http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4018/ПОВТОРНОГО[/url], равномерной ограниченности сверху не будет по крайней мере при $a\geq 0$.

Для последнего случая - отсутствия дисперсии и отрицательного $a$ - надо обобщения закона повторного логарифма внимательно посмотреть.

[--mS--]

Дисперсии тут ни при чём, конечно. И вероятность супремуму/инфимуму сумм независимых с.в. быть бесконечной не может быть нетривиальна. Это остаточное событие, как ни крутись. См. элементарное док-во, например, в "ТВ" Боровкова, следствие 1 параграфа 1 гл. 10.

Условия конечности/бесконечности п.н. супремума/инфимума сумм независимых и одинаково распределённых, отличных от тождественного нуля, слагаемых, хорошо известны: супремум конечен п.н. тогда и только тогда, когда

$$\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\mathsf P(S_k > 0) < \infty.$$

Например, Ф.Спицер "Принципы случайного блуждания", гл. IV, п.19, утверждение P2. Ну правда, блуждание там только дискретное.

Если существует первый момент слагаемых, то приведённое условие равносильно его отрицательности. Там же, п.17, утверждение T1.

Или, например, см. А.А.Боровков "Теория вероятностей", следствие 6 параграфа 2 гл. 11 (через факторизационные тождества, при техническом условии, что слагаемые с положительной вероятностью положительны и с положительной - отрицательны. Но если только о супремуме речь, то про левый хвост можно забыть, и это техническое условие превращается просто в невырожденность в нуле).
Цитирую:

Цитата:

1. $\mathsf P(\sup S_n <\infty,\, \inf S_n > -\infty)=0$.
2. Если существует $\mathsf E\xi_1=a<0$, то

$$\mathsf P(\sup S_n <\infty,\, \inf S_n = -\infty)=1$$

$$\left(\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\mathsf P(S_k > 0) < \infty, \quad \sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\mathsf P(S_k < 0) = \infty \right).$$

3. Если существует $\mathsf E\xi_1=0$, то

$$\mathsf P(\sup S_n =\infty,\, \inf S_n = -\infty)=1$$

$$\left(\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\mathsf P(S_k > 0) = \infty, \quad \sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\mathsf P(S_k < 0) = \infty \right).$$

[Gortaur]

Vince Diesel
Извините, видимо Вы говорили о вероятности супремума быть бесконечным, я думал что Вы говорите о вероятности его быть меньше какого-то числа $M$.

_hum_
Спасибо, удалось показать через ЗБЧ вчера для лишь интегрируемых величин (без условий на дисперсию)

--mS--
Спасибо за полный критерий - мне остался интересен вопрос, были ли результаты или попытки оценить вероятности вроде $\mathsf P(\sup\limits_nS_n\leq M)$ для положительных (может быть достаточно больших) $M$ при конечных отрицательных м.о.?

[--mS--]

Gortaur в сообщении #465655 писал(а):

Спасибо за полный критерий - мне остался интересен вопрос, были ли результаты или попытки оценить вероятности вроде $\mathsf P(\sup\limits_nS_n\leq M)$ для положительных (может быть достаточно больших) $M$ при конечных отрицательных м.о.?

Не знаю, как насчёт оценок, но об асимптотике (с ростом $x$) хвостов распределения супремума есть безумное число работ. Вот тут, например, в работе Д.А.Коршунова 1996 г., есть обзор результатов, известных на тот момент, об асимптотике хвостов распределения супремума случайного блуждания в случае тяжёлых, лёгких и "средних" хвостов. Я не очень разбираюсь в этой тематике. По моим ощущениям, тут следует искать по именам Веравербеке (1977), Боровков (1972, Вер. процессы в ТМО), Эмбрехтс, Клюппельберг, Зэхари (Zachary), Фосс, Коршунов, и т.д.

[Gortaur]

--mS--
Спасибо огромное - я просто думал, что сумма одинаково распределенных независимых с.в. настолько хорошо изучены, чтобы был несколько удивлен отсутствием хотя бы каких-нибудь оценок (вроде $\frac{1}{\sqtr{n}}$).
Насколько я понимаю, работ подобных Коршунову 1996 Вы не знаете более поздних (иначе бы посоветовали).

[--mS--]

Gortaur в сообщении #465792 писал(а):

Насколько я понимаю, работ подобных Коршунову 1996 Вы не знаете более поздних (иначе бы посоветовали).

Ну почему же, знаю прекрасно, просто не очень хорошо ориентируюсь в этой области, потому и назвала лишь фамилии :)

Вот, например, свежая книга - Сергей Фосс, Дмитрий Коршунов, Стан Зэхари "An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions": http://www.springer.com/mathematics/pro ... 419-9472-1, которую в виде препринта можно найти тут:
http://www.mfo.de/scientific-programme/ ... 009_13.pdf, см. в ней теорему 5.3 в последней главе.

[Gortaur]

Спасибо, посмотрим. А Вы нигде не встречали границ хоть на каких-нибудь очень больших $x$, но не асимптотических, а точных. Я имею ввиду, что у Коршунова идет описание $P\{M\geq x\}\sim ... $, а мне интересны $P\{M\geq x\}\leq ...$ для $x>x^*$.