Не вычисляя корней, сказать сколько комплексных корней имеет уравнение.
Например:
x^5+x^3+x^2-4x-2=0.
Ответ: уравнение имеет два комплексных корня.
Решение.
![$y=x^5+x^3+x^2-4x-2$ $y=x^5+x^3+x^2-4x-2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/f/07fa8c0cc54dcb29edf77c8604214d1d82.png)
;
![$y(0)=-2$ $y(0)=-2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/2/8c26e4a22d59b6041e52693f3343c02282.png)
;
![$y'=5x^4+3x^2+2x-4$ $y'=5x^4+3x^2+2x-4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/5/d15b297a4b7e6005272798b45566c0f482.png)
;
![$y'(0)=-4$ $y'(0)=-4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/a/bba6177a6d8bc29ca4831a55a832fe6d82.png)
;
![$y'' = 20x^3+6x+2=2(10x^3+3x+1)$ $y'' = 20x^3+6x+2=2(10x^3+3x+1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/c/bdc8556835f8613cb6617a66440b6ce282.png)
;
![$y''(0)=2$ $y''(0)=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/d/32dc72c5146dfabacea51cd527204ed482.png)
;
Третья производная положительна при всех
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, она равна
![$6(10x^2+1)$ $6(10x^2+1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/d/c4daaf49b82678f6f93a9848be120aa682.png)
.
Это означает, что вторая производная - растущая функция на всей области определения и имеет ровно один действительный корень, значит - у функции одна точка перегиба.
В свою очередь, это означает, что
![$y'$ $y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/f/15f93b25ba881e5829e8fc647b680fb282.png)
имеет ровно два корня (данная функция имеет максимум при отрицательном
![$x $x](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/8725029ea89712eed8670bae64d30e4782.png)
и минимум при положительном
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
).
![$y(-2)=-30$ $y(-2)=-30$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/e/5fecfbd337f907ab794f33a2d080f14382.png)
;
![$y(-1)=3$ $y(-1)=3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/5459ea0abc82981715f258df9e8738c382.png)
;
![$y(0)=-2$ $y(0)=-2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/2/8c26e4a22d59b6041e52693f3343c02282.png)
; это означает, что график кривой пересекает отрицательную часть абсциссы в двух точках, положительную - в одной точке. Три действительных корня, два - комплексных.