не вычисляя, найти количество комплексных корней уравнения

[oveka]

Не вычисляя корней, сказать сколько комплексных корней имеет уравнение.
Например:
$x^5+x^3+x^2-4x-2=0$.

[ewert]

Вторая производная меняется монотонно, на бесконечностях функция возрастает, в нуле убывает -- значит, сколько у неё экстремумов?... И если теперь определить знаки функции в этих экстремумах -- количество вещественных корней станет очевидным.

[patzer2097]

oveka в сообщении #465015 писал(а):

Не вычисляя корней, сказать сколько комплексных корней имеет уравнение.
Например:
x^5+x^3+x^2-4x-2=0.

5 по крайней мере, если учитывать кратности

[ewert]

patzer2097 в сообщении #465047 писал(а):

по крайней мере, если учитывать кратности

а теперь попытайтесь объяснить, почему учитывать кратности не нужно

[patzer2097]

ewert в сообщении #465052 писал(а):

patzer2097 в сообщении #465047 писал(а):

по крайней мере, если учитывать кратности

а теперь попытайтесь объяснить, почему учитывать кратности не нужно

Не знаю, почему.. Может, поступила какая-то инсайдерская информация от топикстартера?

[ewert]

patzer2097 в сообщении #465089 писал(а):

Может, поступила какая-то инсайдерская информация от топикстартера?

Нет, здесь не нужна никакая дополнительная информация; просто, знаете, в театре есть такой приём: когда массовка изображает толпу -- все бормочут фразу "что говорить, когда говорить нечего"...

[spaits]

oveka в сообщении #465015 писал(а):

Не вычисляя корней, сказать сколько комплексных корней имеет уравнение.
Например:
x^5+x^3+x^2-4x-2=0.

Ответ: уравнение имеет два комплексных корня.
Решение.
$y=x^5+x^3+x^2-4x-2$; $y(0)=-2$;
$y'=5x^4+3x^2+2x-4$; $y'(0)=-4$;
$y'' = 20x^3+6x+2=2(10x^3+3x+1)$; $y''(0)=2$;
Третья производная положительна при всех $x$, она равна $6(10x^2+1)$.
Это означает, что вторая производная - растущая функция на всей области определения и имеет ровно один действительный корень, значит - у функции одна точка перегиба.
В свою очередь, это означает, что $y'$ имеет ровно два корня (данная функция имеет максимум при отрицательном $x и минимум при положительном $x$).
$y(-2)=-30$; $y(-1)=3$; $y(0)=-2$; это означает, что график кривой пересекает отрицательную часть абсциссы в двух точках, положительную - в одной точке. Три действительных корня, два - комплексных.

[ewert]

spaits в сообщении #465171 писал(а):

Три действительных корня, два - комплексных.

В принципе всё верно, но чуть-чуть для полного счастья всё-таки не хватает: не оговорено, почему вещественные корни не могут оказаться кратными.

[мат-ламер]

У меня вопрос по терминологии. Комплексный корень и чисто комплексный - это одно и то же?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #465207 писал(а):

Комплексный корень и чисто комплексный - это одно и то же?

Это лирика. По умолчанию: если в формулировке условия фигурирует слово "комплексные" -- то практически наверняка это означает "невещественные". В противном случае это, скорее всего, не более чем пижонство.

[spaits]

ewert в сообщении #465199 писал(а):

spaits в сообщении #465171 писал(а):

Три действительных корня, два - комплексных.

В принципе всё верно, но чуть-чуть для полного счастья всё-таки не хватает: не оговорено, почему вещественные корни не могут оказаться кратными.

У кривой имеется лишь одна точка перегиба, поэтому уравнение $y'=5x^4+3x^2+2x-4=0$ имеет ровно два действительных корня, из которых один положителен, второй - отрицателен (это следует из того,что свободный член многочлена отрицателен).
При этом максимум функции $y=x^5+x^3+x^2-4x-2$ находится при отрицательном аргументе, минимум - при положительном. Двойной отрицательный корень может быть только в случае, если кривая касается оси абсцисс, но было показано, что кривая пересекает отрицательную часть оси абсцисс в двух точках: $y(-2)=-30$; $y(-1)=3$; $y(0)=-2$.
Третий корень - положительный. Вещественные корни не кратные.

[ewert]

spaits в сообщении #465249 писал(а):

было показано, что кривая пересекает отрицательную часть оси абсцисс в двух точках: $y(-2)=-30$; $y(-1)=3$; $y(0)=-2$.

ни хрена себе. И это Вы называете точками пересечения?!... Я раньше думал о Вас лучше.

[spaits]

Уважаемый ewert!
Это не точки пересечения. Это чередование отрицательных и положительных значений функции. Поясняю: между такими точками находится точка, в которой значение функции равно нулю. Конечно, пояснить я должна была в предыдущем посте.
Две точки пересечения графика функции с отрицательной частью оси абсцисс находятся: одна в интервале $(-2;-1)$, другая - в интервале $(-1;0)$.
Вы видите, это разные точки. Кратного корня нет.

[Toucan]

spaits в сообщении #465171 писал(а):

...
Ответ: уравнение имеет два комплексных корня.
Решение.
...

spaits,
опять размещение полного решения учебной задачи.
Недельный и двухнедельный баны за это нарушение у Вас уже были, поэтому сейчас отдыхаем месяц.
В следующий раз, скорее всего, бан будет постоянным.

[ewert]

spaits в сообщении #465277 писал(а):

Вы видите, это разные точки. Кратного корня нет.

Хоть автор и отдыхает, но смолчать нельзя: из того, что точки разные, ещё не следует, что они не кратные.