Господа, недавно был дисскус (гильбертово пространство)

[st256]

...на счет пространства Гильберта. И вот такое они понесли...

Пространство Гильберта это "пучки" функций. Метрика между функциями в "пучке" равна 0. Я возразил, что метрика между "функциями" (ну если это разные функции) нулем быть никак не может по определению. Мне сказали, что я "не понимаю". Действительно, не понимаю...

[мат-ламер]

В теории пучков не понимаю, но это, вероятно, фактор-пространство.

[ewert]

а ещё и Гильберт тут совершенно не в тему. Гильбертовы пространства -- это одно, функциональные и их полнота -- совершенно другое, их же пересечение -- совершенно третье, причём в любом случае -- узкоспециализированное. Т.е. вопрос заведомо бессознательно поставлен (ну или отвечен).

[alcoholist]

st256 в сообщении #464782 писал(а):

Пространство Гильберта это "пучки" функций

Вероятно, какие-то пучки (совокупности пучков?) и несут структуру гильбертова пространства... Но не всякие. А если гильбертово пространство -- то норма есть, соответственно -- метрика. Можно поконкретней (если Вам это нужно)?

[Vince Diesel]

Одно из возможных объяснений - это путаница с терминами. Если рассматривается гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом, то в качестве элементов пространства берутся классы эквивалентности функций, различающихся на множестве меры нуль. Если заменить слово "пучки" на эти классы, то ответ становится осмысленным.

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #464846 писал(а):

Если рассматривается гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом, то в качестве элементов пространства берутся классы эквивалентности функций, различающихся на множестве меры нуль. Если заменить слово "пучки" на эти классы, то ответ становится осмысленным.

Да не становится. Естественно, любое Эль-два -- это соответствующее факторпространство. Но, с одной стороны, это относится к Эль- не только два; а с другой -- гильбертовость как таковая к этому и вообще никакого отношения не имеет. Куды ни кинь -- всюду клин.

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #464846 писал(а):

Если заменить слово "пучки" на эти классы

ну, пучками так не разбрасываются... это, все-таки, строгое понятие.
Если заменить бабушку на дедушку, то...

[st256]

alcoholist в сообщении #464838 писал(а):

st256 в сообщении #464782 писал(а):

Пространство Гильберта это "пучки" функций

Вероятно, какие-то пучки (совокупности пучков?) и несут структуру гильбертова пространства... Но не всякие. А если гильбертово пространство -- то норма есть, соответственно -- метрика. Можно поконкретней (если Вам это нужно)?

Я не совсем понял вопрос. Но попробую.

Пусть функция $x(t)$ - вектор пространства $L_2$. А функция $\sigma(t)$- очень хитрая: она везде равна 0, но в нуле равна 1. Такая вот "обрезанная", прости Господи, дельта-функция. Очевидно, что $ || \sigma || = 0 $. Поэтому метрика между функциями $x(t)$ и $\sigma(t)$ тоже нулевая. Но... Но ведь это разные функции!!! А метрика может быть равной нулю только в том случае, если она находится для одной и той же функции. Такое я помню у нее определение в линейной алгебре...

-- Пн июл 04, 2011 20:57:47 --

Vince Diesel в сообщении #464846 писал(а):

Одно из возможных объяснений - это путаница с терминами. Если рассматривается гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом, то в качестве элементов пространства берутся классы эквивалентности функций, различающихся на множестве меры нуль. Если заменить слово "пучки" на эти классы, то ответ становится осмысленным.

Вот так-то оно так, но как-то криво получается. Знаете, типа, дельта-функция не интегрируема, но интеграл Фурье для нее существует... Не чувствуете некоторую двусмысленность? Зачем мне классы-то? Мне классы без надобности. В этом классе нет понятия значения функции в какой-то точке. Там полный бардак с мгновенными значениями.... :(

[ewert]

st256 в сообщении #465196 писал(а):

А метрика может быть равной нулю только в том случае, если она находится для одной и той же функции.

Вот именно. Ровно поэтому в любых разумных пространствах с интегральной метрикой (и даже в предельном случае $L_{\infty}$) и проводится факторизация по отношению эквивалентности, означающему расхождение на множестве лишь меры ноль.

st256 в сообщении #465196 писал(а):

Знаете, типа, дельта-функция не интегрируема,

Я Вам на ушко скажу: она даже не то что интегрируема или нет, она -- вовсе не функция. Это совсем другой матаппарат.

[Portnov]

Ну, в свете обсуждения выше у функций из $L_p$ и обобщённых функций есть кое-что общее: у тех и у других нет значений в отдельных точках (у обобщённых — потому что они вообще не функции, а функционалы, а у функций из $L_p$ — потому, что они вообще не функции, а классы эквивалентных функций).

[st256]

Поправочка. Нулевая метрика не между $x(t)$ и $\sigma(t)$, а между $x(t)$ и $x(t) + \sigma(t)$

-- Вт июл 05, 2011 12:03:21 --

Portnov в сообщении #465304 писал(а):

Ну, в свете обсуждения выше у функций из $L_p$ и обобщённых функций есть кое-что общее: у тех и у других нет значений в отдельных точках (у обобщённых — потому что они вообще не функции, а функционалы, а у функций из $L_p$ — потому, что они вообще не функции, а классы эквивалентных функций).

Не, Вы не правы. Дельта-функция не функционал, а лишь часть функционала. Но некоторые деятели почему-то упорно выносят ее за знак скалярного произведения. И с этим уродцем начинают носиться, как с натуральной функцией. Тут уместна аналогия: берем человека и аккуратно разрезаем его по позвоночнику. Оставшаяся половинка и есть дельта-функция. Вот у нее (у половинки) и пытаются найти скорость передвижения (одна-то нога осталась) и остроту зрения (количество глаз сократилось, но не до нуля же!).

Т.е. дельта функция совсем не функционал....

[alcoholist]

st256 в сообщении #465326 писал(а):

Нулевая метрика

Говорите лучше "нулевое расстояние"... метрика (metric) -- это функция, а расстояние (distance) -- число.

st256 в сообщении #465196 писал(а):

Пусть функция $x(t)$ - вектор пространства $L_2$. А функция $\sigma(t)$- очень хитрая: она везде равна 0, но в нуле равна 1. Такая вот "обрезанная", прости Господи, дельта-функция. Очевидно, что $ || \sigma || = 0 $. Поэтому метрика расстояние между функциями $x(t)$ и $x(t)+\sigma(t)$ тоже нулеваяое. Но... Но ведь это разные функции!!!

Возьмите sup-норму и будет расстояние ненулевым... Но -- придется пожертвовать гильбертовостью. Как Вам тут уже говорили -- $L^p$ состоит из классов эвивалентности функций.

А при чем тут пучки-то, я все не могу догнать?

-- Вт июл 05, 2011 11:10:22 --

st256 в сообщении #465196 писал(а):

Но ведь это разные функции!!!

Разные функции, но принадлежат одному классу... Вот $L$ и $L+\frac{df}{dt}$ -- разные лагранжианы, а законы движения дают одни и те же (если мне память не изменяет).

[ewert]

st256 в сообщении #465326 писал(а):

Дельта-функция не функционал, а лишь часть функционала. Но некоторые деятели почему-то упорно выносят ее за знак скалярного произведения. И с этим уродцем начинают носиться, как с натуральной функцией.

А как Вы думаете, почему? Почему все и всегда именно отождествляют функционалы и обобщённые функции?

Потому, что сингулярной обобщённой функции никакого формального определения, отличного от "это функционал", дать попросту невозможно. Противоречий же при этом никаких не возникает: когда обобщённые функции регулярны, т.е. соответствующие функционалы задаются обычными суммируемыми функциями -- между функциями и функционалами есть естественный изоморфизм, что и позволяет их отождествить.

[AD]

alcoholist в сообщении #465327 писал(а):

А при чем тут пучки-то, я все не могу догнать?

Думаю, кто-то где-то ляпнул, а кто-то подумал, что это общепринятый термин. Ясно, что речь идёт о классах функций, совпадающих почти всюду.

-- Вт июл 05, 2011 14:46:33 --

st256 в сообщении #465326 писал(а):

Не, Вы не правы. Дельта-функция не функционал, а лишь часть функционала.

Это гдеж таким глупостям-то учат ...

[Gortaur]

AD
Вообще, было всегда интересно. Когда пишут $\langle f,g\rangle$, и $f,g\in L^2$то $\langle \cdot,g\rangle$ - линейный функционал, а $g$ - функция. Другое дело, что потом это пополнили и обозначили один элемент через дельту. Не было бы корректнее писать, что функционал это все же $\langle\cdot ,\delta\rangle$, а не сама дельта? К тому же насколько я понимаю, пополняли $L^2$ по норме, заданной скалярным произведением, то новые элементы тоже должны быть названы функциями?

Приведу аналогию:
рассмотрим $\mathbb Q$ со стандартным произведением $\langle f,g\rangle = fg$ и индуцированной нормыми + метрикой. При пополнении этого пространства по такой метрике появятся иррациональные числа, которые тоже прекрасно могут названы функциями, т.к. $\langle \cdot,g\rangle$ будет являться функцией (логика кажется абсолютно повторяет логику с дельтой)