2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:11 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
age в сообщении #464981 писал(а):
Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.
Пожалуйста, сформулируйте условие словами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:25 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Если $(a\pm b), a, b$ не делятся на 7, то $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:41 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Тут достаточно проверять в лоб $a^2,b^2=1,2,4$.
Если $b^2=4a^2\mod 7$, то $a^4(3+40+48)=7*13*a^4$.
Если $b^2=2a^2\mod 7$, то $a^4(3+20+12)=7*5*a^4).$
Так как выражение симметрично относительно замены $(a,b)\to (b,a)$ то этим завершена вся проверка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
age в сообщении #464985 писал(а):
Если $(a\pm b), a, b$ не делятся на 7, то $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

$a^6 - b^6$ делится на 7, поэтому $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:52 
Заслуженный участник


02/08/10
629
В лоб
Остатки, и остатки от квадратов:
1-1
2-4
3-2
4-2
5-4
6-1
Из условия следует, что $a^2, b^2 $ имеют различные остатки. Значит возможны 3 случая: $(1;4), \ (1;2), \ (2;4)$.
Подставляем и убеждаемся что выражение $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Ну можно так, но задача-то хитрая! Стало быть и решение есть "хитрое", без переборов. Чисто для разминки нестандартного мышления. Вот найти его, боюсь сложно, хоть оно в три строчки.

-- Пн июл 04, 2011 12:53:33 --

TOTAL в сообщении #464989 писал(а):
$a^6 - b^6$ делится на 7, поэтому $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.
Осталось показать связь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Напрашивается разложение на множители: $3a^4+10a^2b^2+3b^4=(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$. Допустимых остатков от деления $a$ и $b$ на $7$ и всего-то кот наплакал: $(\pm1,\pm2)$, $(\pm1,\pm3)$, $(\pm2,\pm3)$, а поскольку знаки не имеют значения -- остаётся вообще лишь три варианта: $(1,2)$, $(1,3)$ и $(2,3)$. Тупо подставляем каждый из них в то разложение -- в каждом случае один из сомножителей будет делиться на семь.

-- Пн июл 04, 2011 12:58:18 --

age в сообщении #464992 писал(а):
Осталось показать связь.

Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:59 
Заслуженный участник


02/08/10
629
ewert в сообщении #464993 писал(а):
Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

МТФ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 11:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Без перебора
$2a^4+10a^2b^2+3b^4=3(a^4+a^2b^2+b^4)\mod 7=\frac{3(a^6-b^6}{a^2-b^2}\mod 7=0\mod 7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
ewert в сообщении #464993 писал(а):
Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.
$a^6 = 1 \mod 7,$ м. теорема Ферма

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 12:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #464998 писал(а):
м. теорема Ферма

ну я её просто не помню и вообще ТЧ не знаю; в любом случае перебором проще

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
ewert в сообщении #464999 писал(а):

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #464998 писал(а):
м. теорема Ферма

ну я её просто не помню и вообще ТЧ не знаю; в любом случае перебором проще

(Оффтоп)

Простым способом надо решать Простую задачу, а не Хитрую. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 12:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Решение:

Пусть $(a\pm b),a,b$ не делятся на $7$. Тогда:
$(a+b)^6-(a-b)^6=12a^5b+40a^3b^3+12ab^5=4ab(3a^4+10a^2b^2+3b^4)$.
Но т.к. $4ab$ не делится на 7, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$ по МТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задача
Сообщение04.07.2011, 12:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В таком случае вариант TOTAL/Руст проще и очевиднее (если, конечно, в последнем двоечку исправить). К тому же в нём нужны более слабые требования -- неделимость лишь суммы и произведения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group