Хитрая задача

[age]

Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.

[TOTAL]

age в сообщении #464981 писал(а):

Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.

Пожалуйста, сформулируйте условие словами.

[age]

Если $(a\pm b), a, b$ не делятся на 7, то $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

[Руст]

Тут достаточно проверять в лоб $a^2,b^2=1,2,4$.
Если $b^2=4a^2\mod 7$, то $a^4(3+40+48)=7*13*a^4$.
Если $b^2=2a^2\mod 7$, то $a^4(3+20+12)=7*5*a^4).$
Так как выражение симметрично относительно замены $(a,b)\to (b,a)$ то этим завершена вся проверка.

[TOTAL]

age в сообщении #464985 писал(а):

Если $(a\pm b), a, b$ не делятся на 7, то $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

$a^6 - b^6$ делится на 7, поэтому $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

[MrDindows]

В лоб
Остатки, и остатки от квадратов:
1-1
2-4
3-2
4-2
5-4
6-1
Из условия следует, что $a^2, b^2 $ имеют различные остатки. Значит возможны 3 случая: $(1;4), \ (1;2), \ (2;4)$.
Подставляем и убеждаемся что выражение $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

[age]

Ну можно так, но задача-то хитрая! Стало быть и решение есть "хитрое", без переборов. Чисто для разминки нестандартного мышления. Вот найти его, боюсь сложно, хоть оно в три строчки.

-- Пн июл 04, 2011 12:53:33 --

TOTAL в сообщении #464989 писал(а):

$a^6 - b^6$ делится на 7, поэтому $3a^4+10a^2b^2+3b^4$ делится на 7.

Осталось показать связь.

[ewert]

Напрашивается разложение на множители: $3a^4+10a^2b^2+3b^4=(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$. Допустимых остатков от деления $a$ и $b$ на $7$ и всего-то кот наплакал: $(\pm1,\pm2)$, $(\pm1,\pm3)$, $(\pm2,\pm3)$, а поскольку знаки не имеют значения -- остаётся вообще лишь три варианта: $(1,2)$, $(1,3)$ и $(2,3)$. Тупо подставляем каждый из них в то разложение -- в каждом случае один из сомножителей будет делиться на семь.

-- Пн июл 04, 2011 12:58:18 --

age в сообщении #464992 писал(а):

Осталось показать связь.

Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

[MrDindows]

ewert в сообщении #464993 писал(а):

Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

МТФ?

[Руст]

Без перебора
$2a^4+10a^2b^2+3b^4=3(a^4+a^2b^2+b^4)\mod 7=\frac{3(a^6-b^6}{a^2-b^2}\mod 7=0\mod 7$.

[TOTAL]

ewert в сообщении #464993 писал(а):

Связь-то очевидна, а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

$a^6 = 1 \mod 7,$ м. теорема Ферма

[ewert]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #464998 писал(а):

м. теорема Ферма

ну я её просто не помню и вообще ТЧ не знаю; в любом случае перебором проще

[TOTAL]

ewert в сообщении #464999 писал(а):

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #464998 писал(а):

м. теорема Ферма

ну я её просто не помню и вообще ТЧ не знаю; в любом случае перебором проще

(Оффтоп)

Простым способом надо решать Простую задачу, а не Хитрую.

[age]

Решение:

Пусть $(a\pm b),a,b$ не делятся на $7$. Тогда:
$(a+b)^6-(a-b)^6=12a^5b+40a^3b^3+12ab^5=4ab(3a^4+10a^2b^2+3b^4)$.
Но т.к. $4ab$ не делится на 7, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$ по МТФ.

[ewert]

В таком случае вариант TOTAL/Руст проще и очевиднее (если, конечно, в последнем двоечку исправить). К тому же в нём нужны более слабые требования -- неделимость лишь суммы и произведения.