Хитрая задача

[age]

Да я и не против чьё красивее, мне моё больше нравится (используются методы 7 класса).

[nnosipov]

age в сообщении #464981 писал(а):

Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.

Хорошую задачу нужно суметь не только сочинить, но и преподнести. В данном случае чтобы как-то заинтриговать 7-классников, я бы сказал им что-нибудь в духе: докажите, что если два целых числа не кратны семи и имеют различные и не дополняющие друг друга остатки от деления на семь, то неполный квадрат суммы квадратов этих чисел делится на семь.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #465182 писал(а):

age в сообщении #464981 писал(а):

Доказать, что если $7\not|\ (a\pm b)$ и $a,b$ не делятся на $7$, то $(3a^4+10a^2b^2+3b^4)\div7$.

Хорошую задачу нужно суметь не только сочинить, но и преподнести. В данном случае чтобы как-то заинтриговать 7-классников, я бы сказал им что-нибудь в духе: докажите, что если два целых числа не кратны семи и имеют различные и не дополняющие друг друга остатки от деления на семь, то неполный квадрат суммы квадратов этих чисел делится на семь.

+1

$10\equiv 3\pmod 7$

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #465182 писал(а):

В данном случае чтобы как-то заинтриговать 7-классников, я бы сказал им что-нибудь в духе: докажите, что если два целых числа не кратны семи и имеют различные и не дополняющие друг друга остатки от деления на семь, то неполный квадрат суммы квадратов этих чисел делится на семь.

Я бы лично (вспоминая, каким я был восьмиклассником -- о более древних временах у меня воспоминаний совсем не сохранилось) -- послал бы эту интрижку просто нахрен. Хотя, конечно, на вкус и цвет...

[nnosipov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #464993 писал(а):

а вот почему разность шестых степеней делится -- для меня как-то не очень.

Чувствуется, что в детстве (да и, возможно, позже) теория чисел Вас не увлекла. Конечно, о вкусах не спорят, но на мой взгляд элементарная теория чисел --- это своеобразная геометрия внутри школьного курса алгебры, взять хотя бы теорию делимости (не просто набор голых формул, а теоремы с аккуратными, в духе Евклида, доказательствами, т.е. именно теория). Да и в задачах --- те же трудности, что и при решении геометрических задач, обязательно нужно что-то изобрести и, как правило, что-то доказать.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #465232 писал(а):

в детстве (да и, возможно, позже) теория чисел Вас не увлекла.

совершенно верно. Меня увлекала лишь математика, непосредственно связанная с физикой. Иногда даже и абстрактная; но -- в разумных пределах.