Транспонирование как линейное преобразование

[eques]

Оно ведь им является, так?

$$f: \mathbb R^{n \times n} \rightarrow \mathbb R^{n \times n},\quad f(X) = X^T$$ $$(A+B)^T = A^T + B^T$$ $$(\lambda A)^T = \lambda A^T$$

Так вот, вопрос, как найти матрицу этого преобразования?

[Someone]

Для начала - выбрать базис.

[Kallikanzarid]

Если я не ошибаюсь,

$$\sum_{i,j=1}^n e_i \otimes e^j \otimes e^j \otimes e_i,$$

где $e_1, \ldots, e_n$ - базис векторного пространства $V$, над которым мы рассматриваем операторы-матрицы, а $e^1, \ldots, e^n$ - сопряженный с ним базис $V^*$.

[eques]

Насчет базиса, пусть выбран стандартный

$e_1 = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \hdotsfor{4} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \end{array} \right], \quad e_2 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \hdotsfor{4} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \end{array} \right], \quad e_{n^2} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \hdotsfor{4} \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \\ \end{array} \right]$.

На самом деле, я даже для простейшего примера

$A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right], \quad f(A) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right]$

что-то не могу придумать вид матрицы оператора $f$.

[Kallikanzarid]

eques в сообщении #464160 писал(а):

я даже для простейшего примера

Рассмотрите образ каждого базисного вектора.

[Yu_K]

eques в сообщении #464160 писал(а):

На самом деле, я даже для простейшего примера

$A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right], \quad f(A) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right]$

что-то не могу придумать вид матрицы оператора $f$.

Для маленьких размерностей порешайте систему для неизвестной матрицы $M$- (для матриц размера 2 будет 4 уравнения 4 неизвестных)
$MA =A^T$.
Матрица блочная - обратную найти вроде просто. Маткад в символьном виде находит вид матрицы линейного преобразования. И вроде получается что $A$ должна быть невырожденная.

[Someone]

Путаница здесь какая-то начинается. В случае матриц размера $n\times n$ базис состоит из $n^2$ элементов, поэтому искомая матрица имеет размер $n^2\times n^2$. В частности, матрица оператора транспонирования в пространстве матриц второго порядка будет иметь порядок $4$. В частности, для базиса, предложенного выше, матрица $T$ оператора транспонирования должна определяться из равенства

$$T\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\ a_{21}\\ a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}.$$

Причём, конечно, матрица $T$ от элементов матрицы $A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right)$ зависеть не должна.

[ewert]

Yu_K в сообщении #464549 писал(а):

обратную найти вроде просто.

Её не надо искать -- она совпадает с исходной.

(если в качестве базиса в пространстве матриц выбрать уже упоминавшийся канонический, то матрица оператора транспонирования будет представлять собой, естественно, соответствующую матрицу перестановок)

[Yu_K]

Someone в сообщении #464595 писал(а):

матрица $T$ оператора транспонирования должна определяться из равенства

$$T\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\ a_{21}\\ a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}.$$

Причём, конечно, матрица $T$ от элементов матрицы $A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right)$ зависеть не должна.

Тут просто выписывается матрица преобразования.

А если искать $m_{i,j}$ как решение системы
$\left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}\\ m_{21}&m_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22}\end{matrix}\right)$

- то тут матрица преобразования зависит от $a_{i,j}$ - это как то плохо, да?

[Someone]

Yu_K в сообщении #464656 писал(а):

то тут матрица преобразования зависит от $a_{i,j}$ - это как то плохо, да?

Конечно, плохо. Матрица линейного преобразования одна и та же, к какому бы вектору его (преобразование) ни применяли.