2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение02.07.2011, 02:11 


02/07/11
2
Оно ведь им является, так?

$$f: \mathbb R^{n \times n} \rightarrow \mathbb R^{n \times n},\quad f(X) = X^T$$ 

$$(A+B)^T = A^T + B^T$$ 
$$(\lambda A)^T = \lambda A^T$$

Так вот, вопрос, как найти матрицу этого преобразования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение02.07.2011, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Для начала - выбрать базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение02.07.2011, 02:26 


02/04/11
956
Если я не ошибаюсь, $$\sum_{i,j=1}^n e_i \otimes e^j \otimes e^j \otimes e_i,$$
где $e_1, \ldots, e_n$ - базис векторного пространства $V$, над которым мы рассматриваем операторы-матрицы, а $e^1, \ldots, e^n$ - сопряженный с ним базис $V^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение02.07.2011, 02:35 


02/07/11
2
Насчет базиса, пусть выбран стандартный

$e_1 = \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\hdotsfor{4} \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\end{array} \right], \quad 
e_2 = \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\hdotsfor{4} \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\end{array} \right], \quad 
e_{n^2} = \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\hdotsfor{4} \\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array} \right]$.

На самом деле, я даже для простейшего примера

$A = \left[ \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{array} \right], \quad f(A) =  \left[ \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
2 & 4 \\
\end{array} \right]$

что-то не могу придумать вид матрицы оператора $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение02.07.2011, 03:12 


02/04/11
956
eques в сообщении #464160 писал(а):
я даже для простейшего примера

Рассмотрите образ каждого базисного вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение03.07.2011, 04:35 


02/11/08
1187
eques в сообщении #464160 писал(а):

На самом деле, я даже для простейшего примера

$A = \left[ \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{array} \right], \quad f(A) =  \left[ \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
2 & 4 \\
\end{array} \right]$

что-то не могу придумать вид матрицы оператора $f$.


Для маленьких размерностей порешайте систему для неизвестной матрицы $M$- (для матриц размера 2 будет 4 уравнения 4 неизвестных)
$MA =A^T$.
Матрица блочная - обратную найти вроде просто. Маткад в символьном виде находит вид матрицы линейного преобразования. И вроде получается что $A$ должна быть невырожденная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение03.07.2011, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Путаница здесь какая-то начинается. В случае матриц размера $n\times n$ базис состоит из $n^2$ элементов, поэтому искомая матрица имеет размер $n^2\times n^2$. В частности, матрица оператора транспонирования в пространстве матриц второго порядка будет иметь порядок $4$. В частности, для базиса, предложенного выше, матрица $T$ оператора транспонирования должна определяться из равенства $$T\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\ a_{21}\\ a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}.$$ Причём, конечно, матрица $T$ от элементов матрицы $A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right)$ зависеть не должна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение03.07.2011, 11:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Yu_K в сообщении #464549 писал(а):
обратную найти вроде просто.

Её не надо искать -- она совпадает с исходной.

(если в качестве базиса в пространстве матриц выбрать уже упоминавшийся канонический, то матрица оператора транспонирования будет представлять собой, естественно, соответствующую матрицу перестановок)

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение03.07.2011, 13:12 


02/11/08
1187
Someone в сообщении #464595 писал(а):
матрица $T$ оператора транспонирования должна определяться из равенства $$T\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\ a_{21}\\ a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}.$$ Причём, конечно, матрица $T$ от элементов матрицы $A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right)$ зависеть не должна.


Тут просто выписывается матрица преобразования.

А если искать $m_{i,j}$ как решение системы
$\left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}\\ m_{21}&m_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22}\end{matrix}\right)$

- то тут матрица преобразования зависит от $a_{i,j}$ - это как то плохо, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Транспонирование как линейное преобразование
Сообщение03.07.2011, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Yu_K в сообщении #464656 писал(а):
то тут матрица преобразования зависит от $a_{i,j}$ - это как то плохо, да?
Конечно, плохо. Матрица линейного преобразования одна и та же, к какому бы вектору его (преобразование) ни применяли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group