Статья Robert J. Aumann (смерть голубоглазых)

[В.О.]

Это продолжение тем topic45978.html
topic45763.html
Я попытаюсь пересказать первую часть статьи http://levine.sscnet.ucla.edu/archive/refs4512.pdf
в которой формализуются такие понятия как «я знаю», «я знаю, что он знает» и т.п.
Пусть есть два человека 1 и 2. Пусть $(\Omega,\mathfrak{B}, p)$ -вероятностное пространство.
$\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2$ два различных разбиения множества $\Omega$. Разбиение это система непересекающихся множеств, покрывающих все пространство.
$p$ - априорная вероятность, общая для 1 и 2.
$\Omega$ интерпретируется как множество состояний мира или как множество всех объектов мира. В квантовой механике $\Omega$ это пространство (скрытых) параметров, т.е. параметров, определяющих все возможные процессы и явления.
Разбиения $\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2$ интерпретируются как знания людей 1 и 2 о мире. Пусть $\omega\in\Omega$. Обозначим $P_i(\omega)$ тот единственный элемент разбиения $\mathcal{P}_i,$ который содержит точку $\omega \in P_i(\omega)$. Тогда $P_i(\omega)$ интерпретируется как знания человека i о состоянии мира $\omega$.
Зададим точку $\omega\in\Omega$. Событие $E$ назовем общим знанием об $\omega$ если $E$ включает тот член "места встречи" $\mathcal{P}_1\bigwedge\mathcal{P}_2$, который содержит $\omega\in\Omega$. Место встречи $\mathcal{P}_1\bigwedge\mathcal{P}_2$ это наименьшее общее укрупнение $\mathcal{P}_1$ и $\mathcal{P}_2$.Таких терминов как "место встречи" и "укрупнение" я не встречал и автор не дает точных определений. Но можно догадаться, что укрупнение двух разбиений это разбиение, каждый элемент которого можно представить объединением элементов первого разбиения. Независимо, его можно представить объединением элементов второго разбиения. Наименьшее укрупнение это укрупнение, элементы которого не представимы в виде объединения элементов других укрупнений. Это не вполне строго, но, наверное, все должно получиться.Пусть $A$ событие и пусть $\mathbf{q}_i$ означает постериорную (после осознания человеком) вероятность $p(A \mid \mathcal{P}_i)$ события $A$ по информации данной $i$ -му человеку, т.е. $\mathbf{q}_i(\omega) = p(A\bigcap P_i(\omega))/p(P_i(\omega))$

Предложение. Пусть $\omega\in\Omega$ и пусть $q_1$ и $q_2$ числа. Если для точки $\omega$ есть общее знание , и при этом $\mathbf{q}_1 =q_1, \mathbf{q}_2 =q_2 $, то $q_1=q_2 $.
Доказательство очень простое и короткое. Я его не привожу.
Следующий шаг это доказательство того, что определение общего знания, как оно сделано выше, и определение через « я знаю, что он знает, что я знаю…» эквивалентны.

[mclaudt]

Интересная тема, спасибо, тоже всегда хотелось знать, как правильно формализовать эту систему. Однако в самом оригинале есть недосказанности, которые хотелось бы прояснить.

Пострериорная вероятность $\mathbf{q}_i$ события$A$ определена для человека $i$, собщенного человеку элементарного события $\omega$, и как следствие, информированностью человека об этом элементарном событии $P_i(\omega)$. В доказательстве же теоремы используется свойство, что "$\mathbf{q}_1={q}_1$ throughout $P$", где под P понимается минимальное общее знание для $\omega$, что не совсем ясно как они собираются реализовать, если $\omega$ фиксирована.

Возможно, имелся в виду следующий трюк: в утверждении теоремы формулируется "it is common knowledge at $\omega$ that $\mathbf{q}_1={q}_1$", т.е. уже некая рекурсивность, (само утверждение равенства является как бы общим знанием) котрая и используется для вышеобозначенного обоснования.

-- Пт июл 01, 2011 07:11:34 --

В.О. в сообщении #463852 писал(а):

В квантовой механике $\Omega$ это пространство (скрытых) параметров, т.е. параметров, определяющих все возможные процессы и явления.

Думаю, что скрытые параметры квантовой механики приплетать сюда пока рано. У авторов такого не было ;)

[mclaudt]

mclaudt в сообщении #463874 писал(а):

Однако в самом оригинале есть недосказанности, которые хотелось бы прояснить.

Вот здесь разъяснено лучше http://www.econ.ohio-state.edu/jpeck/ga ... gameL5.pdf

[Gortaur]

Спасибо, будет интересно почитать. Некоторые формализации есть и здесь (к сожалению, pdf версия че-то там стоит)
http://plato.stanford.edu/entries/common-knowledge/

[В.О.]

mclaudt в сообщении #463874 писал(а):

Думаю, что скрытые параметры квантовой механики приплетать сюда пока рано. У авторов такого не было

Это было чисто философское наблюдение. Можно пропустить.

mclaudt в сообщении #463908 писал(а):

Вот здесь разъяснено лучше http://www.econ.ohio-state.edu/jpeck/ga ... gameL5.pdf

Странный текст. Ни автора, ни ссылок.

[mclaudt]

В.О. в сообщении #464139 писал(а):

Странный текст. Ни автора, ни ссылок.

По URL можно узнать, что это ортодоксальные институтские лекции по теории игр. Достаточно, что они не противоречивы.

[В.О.]

Толковые лекции. Написано проще и понятнее , чем статья. Приведены все определения.

[В.О.]

Пусть $\mathcal{P}_i$ - разбиение множества $\Omega$. Пусть $P_i(\omega)$ тот единственный элемент разбиения, который содержит точку $\omega$. Т.е. $\omega \in P_i(\omega)$, $P_i(\omega)\in\mathcal{P}_i$. Пусть $E \subseteq \Omega$.
Говорят, что человек $i$ знает $E$ в состоянии $\omega$ если $P_i(\omega) \subseteq E$.
Функция знаний игрока $i$ задается равенством
$K_i(E) = \lbrace\omega: P_i(\omega) \subseteq E \rbrace$
Функцию знаний можно рассматривать как оператор, действующий на подмножествах из $\Omega$. По форме он в точности совпадает с оператором перехода к внутренности $Int(E)$ множества $E$. Различие в том, что при нахождении внутренности в качестве $P_i(\omega)$ используются окрестности точки $\omega$, вложенные в $E$.
В http://www.econ.ohio-state.edu/jpeck/ga ... gameL5.pdf на 3-ей странице приведены 6 свойств функции знаний. Легко проверить, что оператор $Int(E)$ также обладает этими свойствами.
Вопрос. Есть ли у оператора $K_i(E)$ свойства, которых нет у оператора $Int(E)$ ?
Более обще, можно ли перечислить свойства оператора $K_i(E)$, которые будут необходимыми и достаточными, для того, чтобы он был функцией знаний?

[mclaudt]

В.О. в сообщении #464654 писал(а):

Вопрос. Есть ли у оператора $K_i(E)$ свойства, которых нет у оператора $Int(E)$ ?

А при чем тут внутренность-то? Тем более что для дискретного множества внутренность - само множество, а функция знаний - в общем случае нет. В моем представлении функция знаний как резинка сжимается с границ исходного множества и натягивается на те элементы разбиения игрока, которые лежат целиком внутри исходного множества.

[В.О.]

mclaudt в сообщении #464661 писал(а):

А при чем тут внутренность-то?

В.О. в сообщении #464654 писал(а):

По форме он в точности совпадает с оператором перехода к внутренности

Внутренность множества это множество всех внутренних точек, т.е. точек, которые вложены в множестве вместе с некоторой окрестностью.
Функция знаний от множества это множество точек. которые вложены в множество вместе с некоторым элементом разбиения, содержащим эту точку. Если элемент разбиения назвать "окрестностью", то определения совпадут.

mclaudt в сообщении #464661 писал(а):

для дискретного множества внутренность - само множество, а функция знаний - в общем случае нет

Это говорит о различии операторов, но не о различии их свойств.

[В.О.]

Можно сформулировать более точно. Если использовать разбиение $\mathcal{P}_i$ в качестве предбазы некоторой топологии $\mathcal{T}$, то в этой топологии значение функции знаний на множестве Е будет совпадать с внутренностью этого множества $K_i(E) = Int(E)$. Если не ошибаюсь.

[mclaudt]

В.О. в сообщении #464676 писал(а):

Если элемент разбиения назвать "окрестностью", то определения совпадут.

Ок, и точно, мысль интересная. Тогда два разбиения - фактически две разные настилки паркета, которые мы приклеиваем плашмя одну к другой - образуют новую топологию, и окрестность каждой точки дает минимальное множество, которое может быть общим знанием по данной точке.

Мне интересно, как правильно перевести на бытовой язык событие, являющееся множеством из всех достижимых (reachable) элементарных событий $\omega'$ для данного элементарного события $\omega$. Понятно, что это и будет соответствующий элемент "места встречи" (finest common coarsening, meet) $\mathcal{P}_1\bigwedge\mathcal{P}_2$, который содержит $\omega\in\Omega$, назовем его $M(\omega)$. Но как лучше на словах перевести его привязку к исходному $\omega$?

Я пытаюсь сделать это, используя фразу "не исключает", но наталкиваюсь на противоречие. Поясню. Рассмотрим двух игроков. $\Omega$ - это множество точных событий, самое подробное состояние системы. В силу своего незнания игроки могут знать о системе неточно, каково бы ни было реальное элементарное состояние дел, они допускают понимание лишь с точностью до своих $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$, каждое из которых состоит из непересекающихся множеств. Причем оба знают о своих разбиениях. Произошло событие $\omega$, первый интерпретирует его как $P_1(\omega)$, т.е. не исключает не только само $\omega$, но и ещё кучу других элементарных событий $\omega' \in P_1(\omega)$. Все остальные исключает. Второй видит, что первый не исключает каждое из событий $P_1(\omega)$, и для каждого $\omega' \in P_1(\omega)$ не исключает $P_2(\omega')$. Первый видит, какие элементы не исключает второй, среди них много тех, которые он первоначально исключал, однако он не может перестать их исключать - он же видел, какое событие произошло на самом деле, даже с точностью до его интерпретации. Так что нельзя объяснить разрастающееся из $\omega$ до $M(\omega)$ множество, если рассматривать его как множество тех элементарных событий, которые "не исключает" для себя бесконечно умный игрок конце концов.

Так чем же, какой процедурой логических конструкций описать элемент $M(\omega)$, представляющий собой наименьшее common knowledge данного события $\omega$?

[В.О.]

mclaudt в сообщении #464928 писал(а):

Первый видит, какие элементы не исключает второй, среди них много тех, которые он первоначально исключал, однако он не может перестать их исключать - он же видел, какое событие произошло на самом деле,

Это уже чистая психология. Можно попытаться придумать психологическое оправдание такого разрастания. Например, если первый верит второму больше чем себе. Или если у первого слабая память и свое предыдущее мнение он помнит слабо, а более позднее мнение второго он помнит хорошо.

С интерпретацией мне тоже много чего не понятно. Можно пытаться придумывать какие-то оправдания, но...
Например, сначала $\omega$ интерпретировалось как точное событие. Но потом появилась интерпретация как состояния. В результате появилась конструкция "игрок знает Е в состоянии $\omega$ если $P_i(\omega) \subseteq E$. А если Е - одноточечное множество? Тогда что такое состояние $\omega$?

[mclaudt]

В.О. в сообщении #464975 писал(а):

Например, сначала $\omega$ интерпретировалось как точное событие. Но потом появилась интерпретация как состояния.

Ну да, изначально $\omega$ - это событие. Но стоит его обрисовать элементом чьего-нибудь разбиения - оно превращается в высказывание. И граница минимального common knowledge - это по модально-логическому подходу фактически граница некого предельного утверждения. Хотя оно в то же время является событием.

[В.О.]

Хорошо. Интерпретация это такое дело, где можно использовать не очень понятные слова и пропускать какие-то натяжки.
Но вот сейчас я попробую сформулировать два свойства интерпретации, которые явно противоречат моему здравому смыслу.
1. Ауманн утверждает, что чем мельче множество $P_i(\omega) $, тем больше информации о точке $\omega$ содержится в разбиении. В пределе если $P_i(\omega)= \omega $, то игроку событие $\omega$ известно абсолютно точно. Но здравый смысл подсказывает мне, что чем мельче множество, тем меньше оно содержит информации.
2. Общее знание Е о точке $\omega$ есть множество более крупное, чем $P_1(\omega) $ и $P_2(\omega) $. Т.е. это знание менее точное, чем $P_1(\omega) $ и $P_2(\omega) $. Но получая общее знание мы не уменьшаем свое знание о $\omega$. Только увеличиваем.
Кажется, у меня пропадает интерес к статьям Ауманна. Да и математика там тривиальная. Частный случай топологии. Необходимые и достаточные свойства фунции знания можно получить с помощью аксиом Куратовского, записанных для оператора взятия внутренности множества.
Кстати, из http://plato.stanford.edu/entries/common-knowledge/ можно узнать, что существуют и другие аксиоматизации общего знания.