2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вопрос про бозоны
Сообщение28.06.2011, 22:12 


27/02/09
2791
Вопрос может показаться надуманным и тем не менее...
При выводе формулы для черного излучения принимается, что химпотенциал системы - идеального газа из фотонов- равен нулю. Это обусловлено тем, что колечество частиц не фиксировано, так как фотоны могут рождаться и поглощаться веществом. Для фотонов вопрос о их равновесном(при данной температуре) количестве в наинизшем(с нулевой частотой) энергетическом состоянии не имеет смысла, поскольку их в данном состоянии просто не существует. Пусть теперь имеется идеальный газ из атомов - бозонов и пусть также имеем условие равенства нулю химпотенциала, частицы-атомы могут рождаться и уничтожаться(не будем уточнять механизм рождения-уничтожения частиц). Наинизшее энергетическое состояния для частиц в этом случае будет состояние с нулевым импульсом. Мне не понятно чем будет определяться количество атомов в наинизшем энергетическим состоянием при фиксированной температуре и нулевым химпотенциалом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение01.07.2011, 07:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для атомов просто химпотенциал не будет нулевым. У вас имеются две функции: плотность состояний от энергии и вероятность заполнения состояния от энергии. Вторая - функция распределения Планка, параметризованная температурой и химпотенциалом, и при фиксированной температуре она просто сдвигается вверх-вниз по энергии вместе с химпотенциалом как с начальной точкой. Интеграл от произведения этих функций вам известен - это просто число частиц в системе (или объёмная плотность, смотря по задаче). Поэтому, зная этот интеграл, мы можем подогнать положение функции распределения Планка, и соответственно значение химпотенциала, так чтобы интеграл от произведения принял нужное значение. Химпотенциал и число частиц взаимно-однозначно связаны, а не два независимых параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение01.07.2011, 15:33 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #463877 писал(а):
Для атомов просто химпотенциал не будет нулевым.

Это почему же?

Мы имеем равновесную функцию распределения(лучше все-таки не называть ее "функция распределения Планка" - эта частный случай функции распределения Бозе-Энштейна для идеального газа фотонов с нулевым химпотенциалом и уж никак не может быть им(химпотенциалом) "параметризованной" ) Равенство химпотенциала нулю как для фотонов, так и для других частиц означает, что равна нулю производная свободной энергии по числу частиц, то есть, число частиц не фиксировано, не есть внешнее ограничение, а определяется минимумом свободной энергии, количество частиц в системе при равновесии таково, чтобы обеспечить этот минимум. Теперь о том, сколько их будет в основном состоянии(с наинизшей энергией) и нулевым химпотенциалом. Для интереса посмотрим сколько их будет в системах, описываемых статистикой Больцмана и Ферми-Дирака. Для функции распределения Больцмана среднее число частиц в наинизшем сосотоянии будет равно 1, а для Ф.-Д. - 0,5. Для Бозе-Эйнштейна - бесконечность, т.е., для термодинамического равновесия в системе идеального газа бозонов необходимо иметь бесконечное число частиц. Конечно, нужно иметь в виду, что при увеличении числа частиц скорее всего будет неприменима статистика для идеального газа, но формально это так.

Теперь о том, почему был задан вопрос. Дело в том, что при определенном устройстве плотности энергетических состояний(наличие "энергетической щели") возможно явление Бозе-Эйнштейновской конденсации. Допустим, мы стартуем с малых значений N - числа частиц в системе. При стремлении системы к равновесию(мы по прежнему полагаем химпотенциал равным 0) , N будет расти. Но с ростом N мы подходим к "точке конденсации".(В данном случае, в отличии от описанного в учебниках изменяется не T, а N). Далее у нас может расти только число частиц в основном состоянии - в новой фазе. Но вот вопрос, будет ли расти эта новая фаза, будет ли возрастать число частиц в системе или система установится в точку фазового перехода и число частиц расти дальше не будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение01.07.2011, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
druggist в сообщении #463990 писал(а):
Это почему же?

Потому что он нам заранее неизвестен. Именно из числа частиц мы его и можем определить. Именно число частиц он и выражает (несколько косвенно). Разумеется, если при $T=0$ число частиц у нас нуль, а все наличные частицы являются порождёнными за счёт ненулевой температуры, то химпотенциал для этого сорта частиц будет нуль. Но для атомов такого не случается.

druggist в сообщении #463990 писал(а):
лучше все-таки не называть ее "функция распределения Планка" - эта частный случай функции распределения Бозе-Энштейна

Согласен, Бозе-Эйнштейна. Простите мне мою оговорку.

druggist в сообщении #463990 писал(а):
Теперь о том, сколько их будет в основном состоянии(с наинизшей энергией) и нулевым химпотенциалом. Для интереса посмотрим сколько их будет в системах, описываемых статистикой Больцмана и Ферми-Дирака. Для функции распределения Больцмана среднее число частиц в наинизшем сосотоянии будет равно 1, а для Ф.-Д. - 0,5. Для Бозе-Эйнштейна - бесконечность, т.е., для термодинамического равновесия в системе идеального газа бозонов необходимо иметь бесконечное число частиц.

Теперь помножьте эту бесконечность на то, что плотность состояний при нулевой энергии обращается в нуль. Для фотонов - вы знаете как. Для массивных частиц - она обращается в нуль задолго до нулевой энергии, ещё для $E=mc^2.$ То есть в результате бесконечного числа частиц никогда не получается.

druggist в сообщении #463990 писал(а):
Конечно, нужно иметь в виду, что при увеличении числа частиц скорее всего будет неприменима статистика для идеального газа, но формально это так.

Как раз применима, а эффекты взаимодействия между частицами проявляются иначе: меняют энергетический спектр (функцию плотности состояний), могут даже вводить новые сорта частиц (например, связанное состояние протона и элетрона - атом водорода). Статистика начинает сбоить в другом случае: когда система неравновесная, и равновесная функция распределения не успевает установиться. Тогда надо расчехлять аппарат кинетики.

druggist в сообщении #463990 писал(а):
Теперь о том, почему был задан вопрос. Дело в том, что при определенном устройстве плотности энергетических состояний(наличие "энергетической щели") возможно явление Бозе-Эйнштейновской конденсации.

Ага, понятно. В этом случае бесконечность действительно возникает. Но она "игрушечная" - она просто означает некоторое очень большое ("макроскопическое") число частиц в этом основном состоянии. На самом деле в нём, разумеется, не бесконечно много частиц, а некоторая макроскопическая доля от $N$ - полного числа частиц в системе. Но когда мы спускаемся на микроуровень, это число по сравнению со всеми другими кажется бесконечным, а обеспечивающий его химпотенциал - практически неотличим от нулевого.

druggist в сообщении #463990 писал(а):
Допустим, мы стартуем с малых значений N - числа частиц в системе. При стремлении системы к равновесию(мы по прежнему полагаем химпотенциал равным 0) , N будет расти.

Система может быть равновесна при любом $N.$ Для этого ей надо всего лишь дать постоять и релаксировать. Число частиц вообще не растёт само по себе (пока мы не влетаем в рождение частиц за счёт энергии), а задаётся как внешний параметр, мы можем регулировать его как хотим, добавляя или вынимая частицы по одной.

То, что вы описываете, вызывается другими причинами: интеграл, который я выше упоминал (чёрт, надо бы открыть любой справочник, и написать это буковками), распадается на два слагаемых. Первое - несконденсированные частицы, второе - "произведение нуля на бесконечность", сконденсированная часть. Из-за того, что химпотенциал привязан к нулевому значению (но не строго нуль, а повторяю, практически неотличим от нулевого), первое слагаемое теряет ту свободу, о которой я говорил в первом ответе. Поэтому в первом слагаемом имеется всегда фиксированное число частиц, и растёт только второе слагаемое. При повышении температуры, или когда $N$ крайне мало (сравнимо с первым слагаемым), химпотенциал "отвязывается" от нуля, но очевидно, этот процесс плавный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение01.07.2011, 21:27 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #464040 писал(а):
Система может быть равновесна при любом Для этого ей надо всего лишь дать постоять и релаксировать. Число частиц вообще не растёт само по себе (пока мы не влетаем в рождение частиц за счёт энергии), а задаётся как внешний параметр, мы можем регулировать его как хотим, добавляя или вынимая частицы по одной.


Это пожалуй основной момент недопонимания. То, о чем я писал относится к случаю, когда число частиц именно что "растет само по себе"( как впрочем и может падать тоже "само по себе") точно также как растет или падает число фотонов рождаемых и поглощаемых веществом прификсированной температуре. Как могут рождаться(появляться) или уничтожаться(уходить из системы) частицы-бозоны мне в данном случае не важно, это другой вопрос. Химпотенциал такой системы равен нулю. Попробую еще раз другими словами. Как находится равновесная функция распределения для ид. газа бозонов, фермионов, "больцманонов"? (См., например, &40, 55, ЛЛ5ч1)
Ищется условный максимум энтропии методом неопределенных множителей Лагранжа. Одним из условий может быть постоянство числа частиц в системе, тогда этот множитель не равен нулю. Однако это условие может отсутствовать(как ,например, для фотонов в случае черного тела), тогда естественно этот множитель должен быть равен нулю(условия нет). Надеюсь, для вас очевидна связь этого множителя с химпотенциалом. Еще раз, когда химпотенциал не ноль, число частиц - внешний параметр, когда ноль - число частиц "регулируется системой", метод Лагранжа, ничего более...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение01.07.2011, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
druggist в сообщении #464093 писал(а):
То, о чем я писал относится к случаю, когда число частиц именно что "растет само по себе"( как впрочем и может падать тоже "само по себе") точно также как растет или падает число фотонов рождаемых и поглощаемых веществом прификсированной температуре. Как могут рождаться(появляться) или уничтожаться(уходить из системы) частицы-бозоны мне в данном случае не важно, это другой вопрос.

Это важно всегда. Систем, описанных вами, не бывает в природе. Мы можем оградить систему стенками, и предотвратить любые прибытия и уходы частиц. Можем не ограничивать, но тогда можем следить за потоками через границы. Единственный незакрытый путь - тепловое рождение. Собственно, вы делаете большую ошибку, сопоставляя фотоны с переохлаждёнными атомами напрямую, это разные системы, являющиеся разными частными случаями более общего варианта, и сравнимы только косвенно. Фотоны, грубо говоря, всегда "горячие", находятся в состоянии ультрарелятивистского газа, где число частиц определяется целиком температурой (в силу нулевой массы), а атомы, напротив, в релятивистском смысле "абсолютно холодные", их энергия всегда сильно ниже $mc^2$ (ионизация атомов начинается намного раньше, чем могло бы начаться их рождение). Вам надо рассмотреть бозонную систему в общем случае, и перейти от неё к этим двум частным.

druggist в сообщении #464093 писал(а):
Химпотенциал такой системы равен нулю.

Неверно! Это верно только для фотонов, и только потому, что они не несут никакого сохраняющегося заряда.

druggist в сообщении #464093 писал(а):
Надеюсь, для вас очевидна связь этого множителя с химпотенциалом.

Пока нет, посмотрю. Я это читал в детстве, не по ЛЛ, а по Киттелю.

druggist в сообщении #464093 писал(а):
Еще раз, когда химпотенциал не ноль, число частиц - внешний параметр, когда ноль - число частиц "регулируется системой", метод Лагранжа, ничего более...

Я пытаюсь изложить физический взгляд, без мистики, когда нет никаких "регулируется системой". Есть число частиц, которое останется в системе, если её охладить до абсолютного нуля. Для фотонов это ноль, для других видов частиц легко может быть не ноль. Потом мы нагреваем систему до нужной температуры и (может быть!) рождаем этим ещё какое-то число частиц. В нагретую систему мы тоже можем добавлять частицы, причём если мы добавили одну частицу, вовсе не обязательно, что внутри прибавилась тоже одна. С фотонами, например, это особенно ярко проявляется: при добавлении фотона энергии $E$ внутри добавляется в среднем $E/kT$ штук фотонов. Не знаю, насколько это можно назвать "внешний параметр" (выше я так сказал с оговоркой).

-- 01.07.2011 23:30:37 --

druggist в сообщении #464093 писал(а):
Как находится равновесная функция распределения для ид. газа бозонов, фермионов, "больцманонов"? (См., например, &40, 55, ЛЛ5ч1)Ищется условный максимум энтропии методом неопределенных множителей Лагранжа. Одним из условий может быть постоянство числа частиц в системе, тогда этот множитель не равен нулю. Однако это условие может отсутствовать(как ,например, для фотонов в случае черного тела), тогда естественно этот множитель должен быть равен нулю(условия нет).

Посмотрел. Во-первых, в этом методе варьирование числа частиц - не физическое, а чисто математическое действие, как и весь вариационный взгляд на уравнения как на экстремумы. Во-вторых, условие, когда число частиц задано (а не постоянно!) - обязательно для получения правильного выражения, снять его нельзя, и в параграфе про бозе-газ этого и не делается. Наличие этого условия означает ровно то, что число частиц в системе известно, независимо от того, равновесно они распределены или нет. Глядя на фотонный газ в заданный момент времени, например, мы легко можем пересчитать фотоны (я не затрагиваю термальную КТП). Вопрос ставится только о том, как эти фотоны разложены по ящичкам, в роли которых выступает функция распределения по энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение02.07.2011, 11:33 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #464105 писал(а):
Глядя на фотонный газ в заданный момент времени, например, мы легко можем пересчитать фотоны (я не затрагиваю термальную КТП).

Имея функцию распределения мы можем расчитать все термодинамические величины, в том числе и число частиц. Т.е., когда химпотенциал ноль, число частиц есть интеграл функции распределения, если не ноль, то число частиц параметр, а взяв интеграл от функции распределения, получим уравнение связывающее химпотенциал, число частиц и температуру. Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал(подсказка: в "энергетическом условии" неопределенный множитель есть $1/T$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение02.07.2011, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
druggist в сообщении #464241 писал(а):
Имея функцию распределения мы можем расчитать все термодинамические величины, в том числе и число частиц.

Неверно. Имея функцию распределения, мы должны помножить её ещё и на число состояний. Тогда можем рассчитать число частиц. А число состояний в функцию распределения не заложено.

druggist в сообщении #464241 писал(а):
Т.е., когда химпотенциал ноль, число частиц есть интеграл функции распределения, если не ноль, то число частиц параметр, а взяв интеграл от функции распределения, получим уравнение связывающее химпотенциал, число частиц и температуру.

Никаких "когда" и "если". Число частиц есть всегда интеграл от функции распределения, помноженной на число состояний. Этот интеграл связывает химпотенциал, число частиц и температуру. Что там выбирать параметром - не принципиально, два числа всегда определяют третье. Напоминаю, "химпотенциал ноль" для случая макроскопической конденсации - это не строго математически ноль, а физический эвфемизм для "неотличимо отстоит от нуля".

druggist в сообщении #464241 писал(а):
Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал

А я должен был отвечать??? Я посмотрел, там всё очевидно, закрыл книжку и лёг спать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение02.07.2011, 20:29 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #464384 писал(а):
Напоминаю, "химпотенциал ноль" для случая макроскопической конденсации - это не строго математически ноль, а физический эвфемизм для "неотличимо отстоит от нуля".


druggist в сообщении #464241 писал(а):
Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал

А я должен был отвечать??? Я посмотрел, там всё очевидно, закрыл книжку и лёг спать.


Нет конечно, не должны, это шутка. Тоже в плане шутки, не могли бы вы нарисовать качественный графичек поведения химпотенциала от температуры(призаданном числе частиц) для случаев существования бозе конденсации и ее отсутствия? По оси ординат химпотенциал, по оси абсцисс температура, почему-то в учебниках не приводят такой график, а мне кажется, было бы наглядно и полезно

P.S. нарисовать, естественно, с помощью слов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение02.07.2011, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Твердотельщики что, по отпускам все разбежались?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение04.07.2011, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Грубо говоря, график будет начинаться в нуле, и монотонно идти строго вниз (для фермионов - строго вверх). Качественно для наличия и отсутствия конденсации это будет выглядеть одинаково. Конденсация проявляется количественно: при приближении температуры к нулю, график в некоторый момент начинает стремиться к нулевой ординате экспоненциально быстро, и очень скоро от нуля становится неотличим. Вот такую "область прилипания" конденсацией и называют. А где она начинается - вам должно быть понятно, что вопрос не более осмыслен, чем "где зануляется экспонента".

В учебниках график не рисуют, как мне кажется, в основном потому, что для него нельзя указать формулы в явном виде (только как "вот такой интеграл чему-то там равен"). Совершенно с вами согласен, изображать его было бы полезно. Как, впрочем, и многие другие вещи, которые принято описывать в основном словами и формулами (впрочем, зависит от автора).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение11.07.2011, 12:43 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #464919 писал(а):
В учебниках график не рисуют, как мне кажется, в основном потому,

Забавно, но, оказывается, все же рисуют, см.:
Ю.Б.Румер, М.Ш.Рывкин, "Термодинамика, статистическая физика и кинетика", изд-во "Наука", Москва, 1972,
Глава III, &43

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение11.07.2011, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ага. Во втором издании (Новосибирск, 2000) гл. V § 54 с. 266 сказано подробнее и аккуратнее:
Цитата:
При температуре $T_0$ химический потенциал становится макроскопически малым ($\sim N^{-1}$), и в термодинамическом пределе должен считаться равным нулю.
...
При $T<T_0$ химический потенциал бозе-газа остается макроскопически малым — в термодинамическом пределе равным нулю, а число частиц на основном уровне становится макроскопически большим — сравнимым с $N.$

График (рис. 72 с. 270) тот же.

Видимо, рекомендуется читать по второму изданию. Первое слишком уж лаконично.

Насчёт экспоненты я слажал, приношу глубочайшие извинения.

-- 12.07.2011 01:01:43 --

А, второе издание вышло ещё в М., 1977, там вёрстка другая, так что страницы по 1977: цитата - с. 246, график - с. 249.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение14.07.2011, 15:11 


27/02/09
2791
Munin в сообщении #467406 писал(а):
При температуре химический потенциал становится макроскопически малым (), и в термодинамическом пределе должен считаться равным нулю.

Не совсем так... Химпотенциал при $T$ стремящейся к $0$ будет пропорционален $T/N$, а вот соответствующий неопределенный множитель Лагранжа(который, не буду уж вас томить, равен химпотенциалу деленному на $T$) ,как раз в пределе будет 1/N. Так что, получается, что до $T_0 $ химпотенциал совсем слабо но все же растет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про бозоны
Сообщение14.07.2011, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
druggist в сообщении #468296 писал(а):
Так что, получается, что до $T_0 $ химпотенциал совсем слабо но все же растет...

О чём я вам с самого начала темы и говорю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group