дифференциальные уравнения

[faxvex]

Имеется 5 задачек, но я не могу их довести до конца, помогите пожалуйста

Для данных дифференциальных уравнений(задачи 1-4) найти общие интегралы и частные интегралы для указанных нач. условий.

задача 1. $(y^2-1)y''=2y(y')^2 , y(0)=2, y'(0)=3$
задача 2. $xy''-y'=x^2e^x$
задача 3. записать общее решенио однородного уравнения. указать вид частного решения неоднородного уравнения(без вычисления коэф-тов)
$y'''-3y''+4y'-2y=(3\cos x+2x\sin x)e^x+e^{-4x}+x^3e^x+x^2-e^x$
задача 4. $y''-8y'+16y=16\cos4x-1$ при $x=0$, $y=-1/16$, $y'=0$
задача 5. найти общее решение линейного неоднородного уравнения по данному частному решению $y_1$ соответствующего линейного однородного уравнения.
$xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=8x^3e^x$; $y_1=e^x$

Решаем:

1)$(y^2-1)y''=2y(y')^2 y(0)=2, y'(0)=3$
$y'=p$, $y''=pp'$
$(y^2-1)pp'=2yp^2$
$p'=\frac{2yp}{y^2-1}$
$\frac{dp}{dy}=\frac{2yp}{y^2-1}\Rightarrow\frac{dp}{p}=\frac{2ydy}{y^2-1}\Rightarrow \ln|p|=\ln|y^2-1|+\ln|c|$
$p=c(y^2-1)$
$y'=c(y^2-1)$
$3=c(2^2-1)$
$c=1$
$\frac{dy}{y^2-1}=dx$
$\frac{1}{2}\ln\frac{y-1}{y+1}=x+c_1$
$\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}=c_1$
$\frac{1}{2}\ln\frac{y-1}{y+1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}+x$
Если не выражать y, то вроде такой ответ..

2)$xy''-y'=x^2e^x$
$y'=p$, $y''=p'$
$xp'-p=x^2e^x$
$p'-\frac{p}{x}=xe^x$- это линейное уравнение
$p'-\frac{p}{x}=0$
$\frac{dp}{dx}=\frac{p}{x}\Rightarrow \ln|p|=\ln|x|+\ln|c|\Rightarrow p=xc$
Теперь c=k(x)=>p=kx=>p'=k'x+k
$k'x+k-k=xe^x$
$k'x=xe^x=\Rightarrow k'=e^x=\Rightarrow k=e^x+c$
верно? а что после делать?

3)$y'''-3y''+4y'-2y=(3\cos x+2x \sin x)e^x+e^{-4x}+x^3e^x+x^2-e^x$
$k^3-k^2+4k-2=0$, методом подбора получаем k1=0
=> наше уравнение раскладывается так: $(k-1)(k^2-2k+2)=0$
Поэтому получаем $k_2=1+i, k_3=1-i$
$Yoo=c_1e^x+e^x(c_2\cos x+c_3\sin x)$
теперь составляем таблицу для нахождения частных неоднородных:
Q(x)_________|α__|β__| α+iβ| r| n
$3\cos xe^x$_____|1__|__1|__1+i|1|0
$2x\sin xe^x$____|1__|__1|__1+i|1|1
$e^{-4x}$________|-4_|__0|___-4|0|0
$x^3e^x$________|1__|__0|____1|1|3
$x^2$__________|0__|__0|____0|0|2
$e^x$__________|1__|__0|____1|1|0
$Y_1чн=xe^x(c_4\cos x+c_5\sin x)$
$Y_2чн=xe^x((c_6x+c_7)\cos x+c_8\sin x)$
$Y_3чн=c_5e^{-4x}$
$Y_4чн=xe^x(c_6x^3+c_7x^2+c_8x+c_9)$
$Y_5чн=c_{10}x+c_{11}$
$Y_6чн=c_{12}xe^{x}$
Ну а Yон=Yоо+Yчн1...чн6

вроде так.....

[Jnrty]

Вы явно поняли, что вокруг формул надо ставить знаки доллара, но делаете это неправильно. Нужно ставить одну пару долларов вокруг всей формулы, а не вокруг отдельных её частей. Например:

faxvex в сообщении #462323 писал(а):

задача 1. ($y^2$-1)y''=2y$(y')^2$ y(0)=2, y'(0)=3

задача 1. ([math]$y^2$[/math]-1)y''=2y[math]$(y')^2$[/math]      y(0)=2, y'(0)=3

нужно переделать в

задача 1. $(y^2-1)y''=2y(y')^2\quad y(0)=2, y'(0)=3$

Получится так:
задача 1. $(y^2-1)y''=2y(y')^2\quad y(0)=2, y'(0)=3$ Когда всё исправите, напишите об этом в теме "Сообщение в карантине исправлено".

Посмотрите http://dxdy.ru/topic45202.html, http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html, http://dxdy.ru/topic46303.html.

Для проверки того, что получилось, пользуйтесь кнопкой "Предпростмотр".

[myra_panama]

faxvex в сообщении #462323 писал(а):

задача 2. $xy''-y'=x^2e^x$

ну вроде дифур. в полной производной:
$\frac{xy''-y'}{x^2}=e^x$

$(\frac{y'}{x})'=e^x$
дальше вы сам...

faxvex в сообщении #462323 писал(а):

задача 4. $y''-8y'+16y=16\cos4x-1$ при $x=0$, $y=-1/16$, $y'=0$

этот типа похоже на задаче 3)...

faxvex в сообщении #462323 писал(а):

задача 5. найти общее решение линейного неоднородного уравнения по данному частному решению $y_1$ соответствующего линейного однородного уравнения.
$xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=8x^3e^x$; $y_1=e^x$

Используюте формулу Остраградского-Лиувилля

[GAA]

1. Да.
2. Общее решение неоднородного $p = (e^x +c) x$. Общее решение исходного найдете при помощи интегрирования.
3. С $Y_2$ не согласен, перед $\sin x$ должен быть двучлен.
С $Y_5$ не согласен.
4. Это линейное уравнение, в котором правая часть — сумма специальных правых частей. Можно найти общее решение неоднородного уравнения методом подбора (наподобие того, как Вы делали в задании 3), а можно и методом вариации постоянных (методом Лагранжа).
5. (A) Знание общего решения однородного уравнения позволяет понизить порядок однородного уравнения с сохранением линейности (замена $y=y_1\int u dx$). Найдя решение линейного однородного уравнения первого порядка, можно найти решение исходного однородного уравнения второго порядка. (B) Частное решение исходного неоднородного уравнения можно найти методом вариации (методом Лагранжа).

[faxvex]

в 3-ей понял, спасибо, щас решение 2-ой напишу

-- Вс июн 26, 2011 21:19:15 --

$p = (e^x +c_1) x$
$y'=x(c_1+e^x)$\
y'=dy/dx
$dy=x(c_1+e^x)dx$
y=1+2
1)$\int xc_1dx=\frac{c_1x^2}{2}$
2)$\int xe^xdx=\int xde^x=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$
$y=\int xc_1(x)dx=\frac{c_1x^2}{2}+xe^x-e^x+c_2$

[GAA]

2. Совпадает с моим ответом.

[faxvex]

теперь номер 4:
$y''-8y'+16y=16\cos4x-1 при x=0, y=-1/16, y'=0$
$k^2-8k+16=0$
$k_{1,2}=4$
$Yoo=c_1e^{4x}+xc_2e^{4x}$

$Y_1=А_1\cos4x+A_2\sin4x$
$Y_1'=4А_2\cos4x-4A_1\sin4x$
$Y_1''=-16А_1\cos4x-16A_2\sin4x$

$-16A_1\cos4x-16A_2\sin4x-32A_1\cos4x+32A_1\sin4x+16A_1\cos4x+16A_2\sin4x=16\cos4x-1$

$-32А_2\cos4x+32A_1\sin4x=16\cos4x-1$
$A_1=0$

$-32A_2\cos4x=16\cos4x$

$A_2=-1/2$

$A_2=0$
$32A_1\sin4x=16\cos4x$
$A_1=0,A_2=-1/2$

$Yon=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+(-0.5\sin4x)$
$-0.0625=c_1\Rightarrow c_1=-0.0625$
$y'=4c_1e^{4x}+c_2(4xe^x+e^{4x})-2\cos4x$

$0=4c_1+c_2-2/c_1=-0.0625$
$c_2=2+0.25=2.25$
$Yon=0.0625e^{4x}+2.25xe^{4x}-0.5\sin4x$

-- Вс июн 26, 2011 23:47:02 --

номер5: $xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=8x^3e^x$; $y_1=e^x$
$y_2=zy_1$
$y_2'=z'y_1'+y_1'z$
$y_2''=z''y_1+2y_1'z'+y_1''z$
$z''y_1+2y_1'z'+y_1''z-(2+1/x)(z'y_1+y_1'z)+zy_1+\frac{zy_1}{x}=0$
$z''y_1+z'(2y_1'-2y_1-1/x)+z(y_1+y_1/x)=0$
$z''y_1+z'(2y_1'-2y_1-y_1/x)=0$
$z'=p,z''=p'$
$p'y_1+p(2y_1'-2y_1-y/x)=0$
$p'e^x+2pe^x-2pe^x-e^x=0$
$dp=\frac{dx}{x}$
$p=lnx$
$p=e^x$
p=z'
$\frac{dz}{dx}=e^x$
$z=e^x$
$y_2=e^{2x}$
$Yoo=c_1e^x+c_2e^2x$
$c_1'e^x+c_2'e^{2x}=0$
$c_1'e^x+2c_2'e^{2x}=8x^3e^x$
$c_2'=\frac{-8x^3}{e^x}$
$c_1=8x^3dx=\frac{8x^4}{4}+2x^4c_1*+c_1*$
$c_2=-8x^3e^{-x}dx=(8x^3+24x^2+48x+48)e^{-x}+c_2*$
$Yon=e^xc_1*+c_2e^{2x}+2x^4e^x+(8x^3e^{2x}+24x^2e^{2x}+48xe^{2x}+c_2e^2x)e^{-x}$

но в 5 я вообще не уверен, проверьте пожалуйста и помогите исправить ошибку, если таковые имеются

[faxvex]

в 4-ом номере немного не так,там
$Yon=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+(-0.5\sin4x)-\frac{1}{16}$
$-0.0625=c_1-0.0625\Rightarrow c_1=0$
$y'=4c_1e^{4x}+c_2(4xe^x+e^{4x})-2\cos4x$

$0=4c_1+c_2-2\Rightarrow c_2=2$
$Yon=2xe^{4x}-0.5\sin4x-\frac{1}{16}$

[GAA]

4. Ответ правильный. Однако в оформлении решения имеются недостатки. Уравнения для нахождения коэффициентов следует записывать отдельно для каждой специальной правой части. Т.е. не должно быть -1 в правой части

faxvex в сообщении #462546 писал(а):

$-16A_1\cos4x-16A_2\sin4x-32A_1\cos4x+32A_1\sin4x+16A_1\cos4x+16A_2\sin4x=16\cos4x-1$

И еще должна быть часть решения с функцией $Y_2 = C$.

5. Из

faxvex в сообщении #462546 писал(а):

$p'e^x+2pe^x-2pe^x-e^x=0$

не следует

faxvex в сообщении #462546 писал(а):

$dp=\frac{dx}{x}$

Ход решения правильный.

[myra_panama]

faxvex в сообщении #462546 писал(а):

$p'e^x+2pe^x-2pe^x-e^x=0$

$e^x(p'-1)=0$ при $$e^x\neq 0 $ $p=x+c$

[faxvex]

там $p'e^x+2pe^x-2pe^x-e^x/x=0$, поэтому получаем $dp=\frac{dx}{x}$, меня сегодня преподаватель проверяла и ошибка в другом, там она оставила решение:
$p=lnx$
$p=e^x$
p=z'
$\frac{dz}{dx}=e^x$
$z=e^x$
$y_2=e^{2x}$
$Yoo=c_1e^x+c_2e^2x$
$c_1'e^x+c_2'e^{2x}=0$
а вот тут: $c_1'e^x+2c_2'e^{2x}=8x^3e^x$ сказала что не $8x^3e^x$, а что -то другое, единица что ли, она это объяснила тем, что наше уравнение не приведённое....
так что, должно быть $c_1'e^x+2c_2'e^{2x}=1$?

[GAA]

Я получил уравнение $xp’ - p=0$. Поэтому второе фундаментальное решение у меня отличается от Вашего. Проверьте свои выкладки.
По поводу поиска частного решения неоднородного. Просто поделите уравнение на $x$, тогда правая часть будет иметь вид $8x^2e^x$.

[faxvex]

отлично, счас попробую приравнять к $8x^2e^x$.

-- Пн июн 27, 2011 22:31:58 --

$c_1'e^x+2c_2'e^{2x}=8x^2e^x$
$c_1'e^x+c_2'e^{2x}=0$
$2c_2'e^{2x}-c_2'e^{2x}=8x^2e^x$
$c_2'e^{2x}=8x^2e^x$
$c_2'=8x^2e^{-x}$
$c_1'e^x+8x^2e^x=0$
$c_1'=-8x^2$
$c_1=-8x^2dx=\frac{-8x^3}{3}+c_1*$
$c_2=8x^2e^{-x}dx=-8x^2de^{-x}=-8(x^2e^{-x}-2xe^{-x}dx=-8(x^2e^{-x}+2(xe^{-x}-e^{-x}dx=-8(x^2e^{-x}+2(xe^{-x}+e^x))+c_2*$
$Yon=c_1e^x+c_2e^{2x}$, а затем подставляем $c_1$ и$ c_2$