2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Re:
Сообщение20.06.2011, 12:49 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Whitaker в сообщении #460143 писал(а):
Давайте тогда начнём разбирать вторую задачу.
AM-GM неравенство: $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

Давайте! Неравенство, которое Вы написали верно для неотрицательных $a_i$ и является частным случаем вот такой радости:
Пусть $x_i$ и $\alpha_i$ положительные числа такие, что $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=1$. Тогда:
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_nx_n\geq x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n}$.
(кстати, как это доказать?)
Это AM-GM с весами и оно нам пригодится для доказательства первого неравенства.
Если положить $\alpha_i=\frac{1}{n}$, то получаем тот вид AM-GM, который Вы и написали, который нам поможет для второго.
Теперь попробуйте доказать, что $2a^3-3a^2b+b^3\geq0$ с помощью AM-GM.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства.
Сообщение20.06.2011, 12:59 


19/01/11
718
arqady , я не очень силен в неравенствах , но у меня вот такая попытка:
$2a^3-3a^2b+b^3=(a-b)(2a^2-ab-b^2)=(a-b)^2(2a+b)$
$(a-b)^2\ge 0$ , но (2a+b)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства.
Сообщение20.06.2011, 13:50 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
myra_panama, у нас $a$ и $b$ неотрицательны. Поэтому $2a+b\geq0$. То есть Вы всё доказали.
Правда, просили с помощью AM-GM... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства.
Сообщение20.06.2011, 20:01 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

С помощью АМ-ГМ :
2) $(a^3+a^3+b^3)+(b^3+b^3+c^3)+(c^3+c^3+a^3) \ge ...$
1) $(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3 \ge 2a+2b+2c-3$
То есть вам остаётся доказать, что $a+b+c \ge 3$. Это попробуйте сделать сами, используя условие $abc=1$ и $AM-GM$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства.
Сообщение20.06.2011, 20:13 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
MrDindows в сообщении #460329 писал(а):
Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

С помощью АМ-ГМ :
2) $(a^3+a^3+b^3)+(b^3+b^3+c^3)+(c^3+c^3+a^3) \ge ...$
1) $(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3 \ge 2a+2b+2c-3$
То есть вам остаётся доказать, что $a+b+c \ge 3$. Это попробуйте сделать сами, используя условие $abc=1$ и $AM-GM$.

У меня всё получилось! Тем путём, которым вы сказали намного легче и понятнее для меня.
Большое Вам спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства.
Сообщение20.06.2011, 23:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
MrDindows в сообщении #460329 писал(а):
Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

Грузить не хотел. Хотел научить вот такой простой и красивой штуке:
$\frac{2}{3}x^6+\frac{1}{6}y^6+\frac{1}{6}z^6\geq x^4yz$.
Если сразу написать $4x^6+y^6+z^6\geq6x^4yz$, то непонятно, откуда оно берётся.
Можно и без замены: $4a^2+b^2+c^2\geq6a$. Опять же вопрос: как догадаться до этого чуда?
Впрочем, топикстартёр удовлетворён, ну и ладненько...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group