Неравенства.

[Whitaker]

Помогите пожалуйста с доказательством двух неравенств. Что-то не получается ее доказать.
1. Если $a, b, c$-положительные вещественные числа такие, что $abc=1$. Доказать, что
$a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$
2. Если $a, b, c$-положительные вещественные числа. Доказать, что
$a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

[Whitaker]

Пользуюсь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим, но ничего не получается пока

[arqady]

Для первого после замены $a=x^3$, $b=y^3$ и $c=z^3$ найдите с помощью AM-GM такие $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$,
для которых $\alpha x^6+\beta y^6+\gamma z^6\geq x^4yz$ и сохранялось бы достижение равенства, как в исходном неравенстве.
Для доказательства второго докажите, что $2a^3-3a^2b+b^3\geq0$.

[Whitaker]

arqady в сообщении #460084 писал(а):

Для первого после замены $a=x^3$, $b=y^3$ и $c=z^3$ найдите с помощью AM-GM такие $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$,
для которых $\alpha x^6+\beta y^6+\gamma z^6\geq x^4yz$ и сохранялось бы достижение равенства, как в исходном неравенстве.
Для доказательства второго докажите, что $2a^3-3a^2b+b^3\geq0$.

Что-то не совсем получается может быть Вы напишите доказательство.

[arqady]

Займёмся первым неравенством. Когда в нём достигается равенство?... И поэтому $\alpha+\beta+\gamma$ равняется чему?

[Whitaker]

arqady в сообщении #460103 писал(а):

Займёмся первым неравенством. Когда в нём достигается равенство?... И поэтому $\alpha+\beta+\gamma$ равняется чему?

Почему нужна вообще такая замена? А без этой замены можно ее решить?

[Gortaur]

Whitaker
Зависит от того, что Вы уже прошли. Во втором случае можно было бы минимум разности найти. В первом - условный минимум. По крайней мере, решение прямое.

[Whitaker]

Gortaur в сообщении #460110 писал(а):

Whitaker
Зависит от того, что Вы уже прошли. Во втором случае можно было бы минимум разности найти. В первом - условный минимум. По крайней мере, решение прямое.

А в первой задаче можно без замены ее решить используя AM-GM.

[Gortaur]

Это вопрос был или утверждение?

[Whitaker]

Gortaur в сообщении #460115 писал(а):

Это вопрос был или утверждение?

Извините, это был вопрос.

[arqady]

Whitaker в сообщении #460113 писал(а):

А в первой задаче можно без замены ее решить используя AM-GM.

Можно. Но с заменой проще.

[ewert]

По первой задаче: $(a-\frac12)^2+(b-\frac12)^2+(c-\frac12)^2=\frac34$ -- это сфера, касающаяся плоскости $a+b+c=3$, т.е. лежащая под ней. Достаточно доказать, что поверхность $abc=1$ лежит над этой плоскостью. Последнее, во-первых, очевидно из соображений выпуклости, а во-вторых, это-то уж точно AM-GM.

[Whitaker]

arqady в сообщении #460117 писал(а):

Whitaker в сообщении #460113 писал(а):

А в первой задаче можно без замены ее решить используя AM-GM.

Можно. Но с заменой проще.

Просто я решаю неравенства. И там пока как бы никакие замены пока не используют, а используют неравенство AM-GM. Все решил только остались эти две, пытаюсь разными способами, но никак не получаются. Буду рад если вы предложите решение.

[arqady]

Whitaker в сообщении #460123 писал(а):

Буду рад если вы предложите решение.

У нас не принято предлагать решения. А вот помочь и натолкнуть на идею - очень даже!
У меня есть подозрение (вполне возможно, что ошибочное), что Вы не знаете, что такое AM-GM.
Напишите, в чём, собственно, заключается это неравенство.

[Whitaker]

arqady в сообщении #460128 писал(а):

Whitaker в сообщении #460123 писал(а):

Буду рад если вы предложите решение.

У нас не принято предлагать решения. А вот помочь и натолкнуть на идею - очень даже!
У меня есть подозрение (вполне возможно, что ошибочное), что Вы не знаете, что такое AM-GM.
Напишите, в чём, собственно, заключается это неравенство.

Давайте тогда начнём разбирать вторую задачу.
AM-GM неравенство: $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$