Неравенства.

[arqady]

Whitaker в сообщении #460143 писал(а):

Давайте тогда начнём разбирать вторую задачу.
AM-GM неравенство: $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

Давайте! Неравенство, которое Вы написали верно для неотрицательных $a_i$ и является частным случаем вот такой радости:
Пусть $x_i$ и $\alpha_i$ положительные числа такие, что $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=1$. Тогда:
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_nx_n\geq x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n}$.
(кстати, как это доказать?)
Это AM-GM с весами и оно нам пригодится для доказательства первого неравенства.
Если положить $\alpha_i=\frac{1}{n}$, то получаем тот вид AM-GM, который Вы и написали, который нам поможет для второго.
Теперь попробуйте доказать, что $2a^3-3a^2b+b^3\geq0$ с помощью AM-GM.

[myra_panama]

arqady , я не очень силен в неравенствах , но у меня вот такая попытка:
$2a^3-3a^2b+b^3=(a-b)(2a^2-ab-b^2)=(a-b)^2(2a+b)$
$(a-b)^2\ge 0$ , но (2a+b)?

[arqady]

myra_panama, у нас $a$ и $b$ неотрицательны. Поэтому $2a+b\geq0$. То есть Вы всё доказали.
Правда, просили с помощью AM-GM...

[MrDindows]

Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

С помощью АМ-ГМ :
2) $(a^3+a^3+b^3)+(b^3+b^3+c^3)+(c^3+c^3+a^3) \ge ...$
1) $(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3 \ge 2a+2b+2c-3$
То есть вам остаётся доказать, что $a+b+c \ge 3$. Это попробуйте сделать сами, используя условие $abc=1$ и $AM-GM$.

[Whitaker]

MrDindows в сообщении #460329 писал(а):

Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

С помощью АМ-ГМ :
2) $(a^3+a^3+b^3)+(b^3+b^3+c^3)+(c^3+c^3+a^3) \ge ...$
1) $(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3 \ge 2a+2b+2c-3$
То есть вам остаётся доказать, что $a+b+c \ge 3$. Это попробуйте сделать сами, используя условие $abc=1$ и $AM-GM$.

У меня всё получилось! Тем путём, которым вы сказали намного легче и понятнее для меня.
Большое Вам спасибо за помощь!

[arqady]

MrDindows в сообщении #460329 писал(а):

Не пойму, зачем вы грузите человека весовыми неравенствами, заменами и графиками, когда ему пока-что надо просто разобраться с неравенством между средними.

Грузить не хотел. Хотел научить вот такой простой и красивой штуке:
$\frac{2}{3}x^6+\frac{1}{6}y^6+\frac{1}{6}z^6\geq x^4yz$.
Если сразу написать $4x^6+y^6+z^6\geq6x^4yz$, то непонятно, откуда оно берётся.
Можно и без замены: $4a^2+b^2+c^2\geq6a$. Опять же вопрос: как догадаться до этого чуда?
Впрочем, топикстартёр удовлетворён, ну и ладненько...