2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 12:54 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
1) Какое максимальное количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них равнялась простому числу?

2) Рассмотрим всевозможные стозначные натуральные числа, в которых каждые две соседние цифры различны. Каких среди них больше: чётных или нечётных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 13:50 


05/10/10
71

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 13:56 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Naf2000 в сообщении #460170 писал(а):

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

У меня три яблока. Ровно половина из них - в левой руке, другая половина - в правой.
Число пёрышком не располовинишь :wink:

Степень девятки чётна лишь во сне.

У меня пять яблок. Красных и жёлтых поровну.

Сколько всего таких стозначных? $9^{100}$.
На 2 делится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 14:07 


05/10/10
71
Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):
Naf2000 в сообщении #460170 писал(а):

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

У меня три яблока. Ровно половина из них - в левой руке, другая половина - в правой.
Число пёрышком не располовинишь :wink:

Степень девятки чётна лишь во сне.

У меня пять яблок. Красных и жёлтых поровну.

Сколько всего таких стозначных? $9^{100}$.
На 2 делится?

согласен, число 90... переходит в неправильное число 99...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):
Число пёрышком не располовинишь :wink:

Запросто располовиню. Четных = половина от $9^{100}+1,$ нетных = половина от $9^{100}-1.$ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 14:19 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
TOTAL в сообщении #460179 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):
Число пёрышком не располовинишь :wink:

Запросто располовиню. Четных = половина от $9^{100}+1,$ нетных = половина от $9^{100}-1.$ :mrgreen:

А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$ :mrgreen:
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$ :mrgreen:
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Xenia1996 в сообщении #460181 писал(а):
А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$ :mrgreen:
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$ :mrgreen:
Верно?
Откуда я знаю, я только для стозначных решил. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 14:41 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
TOTAL в сообщении #460187 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #460181 писал(а):
А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$ :mrgreen:
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$ :mrgreen:
Верно?
Откуда я знаю, я только для стозначных решил. :mrgreen:

Так Вы не рекурсивно решали?
Тогда поделитесь, пожалуйста. Я другого решения не нашла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 17:28 


15/03/11
137
$f_e(n)=8f_e(n-1)+9f_e(n-2)$
$f_o(n)=8f_o(n-1)+9f_o(n-2)$

Предполагаем, что
$f_e(2n)=\frac{9^{2n}+1}2$, $f_o(2n)=\frac{9^{2n}-1}2$
$f_e(2n+1)=\frac{9^{2n+1}-1}2$, $f_o(2n)=\frac{9^{2n+1}+1}2$

и по индукции доказываем

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 21:52 


20/05/11
152
Xenia1996 в сообщении #460159 писал(а):
1) Какое максимальное количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них равнялась простому числу?

Могу сказать, что не больше 6...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 22:03 
Аватара пользователя


14/01/10
252
Lunatik в сообщении #460405 писал(а):
Могу сказать, что не больше 6


Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 22:11 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
mclaudt в сообщении #460408 писал(а):
Lunatik в сообщении #460405 писал(а):
Могу сказать, что не больше 6


Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 22:20 
Аватара пользователя


14/01/10
252
Xenia1996 в сообщении #460411 писал(а):
mclaudt в сообщении #460408 писал(а):
А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.


Рекомендую

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 22:24 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
mclaudt в сообщении #460416 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #460411 писал(а):
mclaudt в сообщении #460408 писал(а):
А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.


Рекомендую

(Оффтоп)

Я ж-таки тоже сыронизировала :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике
Сообщение20.06.2011, 22:48 


20/05/11
152
mclaudt в сообщении #460408 писал(а):
Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.


Вот затупил :-( Также брал вычеты по модулю 3, но сделал не совсем правильный вывод...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group