Две несложные, но симпатичные задачи по арифметике

[Xenia1996]

1) Какое максимальное количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них равнялась простому числу?

2) Рассмотрим всевозможные стозначные натуральные числа, в которых каждые две соседние цифры различны. Каких среди них больше: чётных или нечётных?

[Naf2000]

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

[Xenia1996]

Naf2000 в сообщении #460170 писал(а):

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

У меня три яблока. Ровно половина из них - в левой руке, другая половина - в правой.
Число пёрышком не располовинишь

Степень девятки чётна лишь во сне.

У меня пять яблок. Красных и жёлтых поровну.

Сколько всего таких стозначных? $9^{100}$.
На 2 делится?

[Naf2000]

Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):

Naf2000 в сообщении #460170 писал(а):

(Оффтоп)

2. для произвольного такого стозначного числа поставим ему в соответствие другое стозначное число такое что:
а) первая цифра таже, что и у исходного
б) для каждой из остальных цифр X поставим в соответвие цифру 9-X
очевидно получим биекцию множества всех таких стозначных чисел в себя и при этом четные числа перейдут в нечетные и наоборот, значит их количество равно

У меня три яблока. Ровно половина из них - в левой руке, другая половина - в правой.
Число пёрышком не располовинишь

Степень девятки чётна лишь во сне.

У меня пять яблок. Красных и жёлтых поровну.

Сколько всего таких стозначных? $9^{100}$.
На 2 делится?

согласен, число 90... переходит в неправильное число 99...

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):

Число пёрышком не располовинишь

Запросто располовиню. Четных = половина от $9^{100}+1,$ нетных = половина от $9^{100}-1.$

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #460179 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #460173 писал(а):

Число пёрышком не располовинишь

Запросто располовиню. Четных = половина от $9^{100}+1,$ нетных = половина от $9^{100}-1.$

А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$
Верно?

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #460181 писал(а):

А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$
Верно?

Откуда я знаю, я только для стозначных решил.

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #460187 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #460181 писал(а):

А в общем случае:
Четных = половина от $9^{2n}+1,$ нетных = половина от $9^{2n}-1.$
Четных = половина от $9^{2n+1}-1,$ нетных = половина от $9^{2n+1}+1.$
Верно?

Откуда я знаю, я только для стозначных решил.

Так Вы не рекурсивно решали?
Тогда поделитесь, пожалуйста. Я другого решения не нашла.

[zhekas]

$f_e(n)=8f_e(n-1)+9f_e(n-2)$
$f_o(n)=8f_o(n-1)+9f_o(n-2)$

Предполагаем, что
$f_e(2n)=\frac{9^{2n}+1}2$, $f_o(2n)=\frac{9^{2n}-1}2$
$f_e(2n+1)=\frac{9^{2n+1}-1}2$, $f_o(2n)=\frac{9^{2n+1}+1}2$

и по индукции доказываем

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #460159 писал(а):

1) Какое максимальное количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них равнялась простому числу?

Могу сказать, что не больше 6...

[mclaudt]

Lunatik в сообщении #460405 писал(а):

Могу сказать, что не больше 6

Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

[Xenia1996]

mclaudt в сообщении #460408 писал(а):

Lunatik в сообщении #460405 писал(а):

Могу сказать, что не больше 6

Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.

[mclaudt]

Xenia1996 в сообщении #460411 писал(а):

mclaudt в сообщении #460408 писал(а):

А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.

Рекомендую

[Xenia1996]

mclaudt в сообщении #460416 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #460411 писал(а):

mclaudt в сообщении #460408 писал(а):

А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Более простой пример: 1, 3, 7, 9.

Рекомендую

(Оффтоп)

Я ж-таки тоже сыронизировала

[Lunatik]

mclaudt в сообщении #460408 писал(а):

Вычетами по модулю 3 доказывается, что не больше четырех. А простым примером, типа 19, 27, 33, 37 доказывается, что по крайней мере четыре.

Вот затупил Также брал вычеты по модулю 3, но сделал не совсем правильный вывод...