Сколько существует единиц, или сколько будет один плюс один?

[Sashamandra]

PAV

PAV писал(а):

Двуместная функция $f:A\times A\to B$.

Ваша формула из теоретико-множественного контекста? Тогда вынужден Вас огорчить, Вы ошибаетесь. $f$ не является функцией ни одноместной, ни двухместной, а предметом, точнее, множеством, о котором утверждается, что оно обладает свойством «быть (так называемой) функцией, с такой-то областью определения и значениями, принадлежащими такому-то множеству». Чтобы не путать множество $f$ с настоящими функциями, ее более строго называют «графиком функции». Однако функция здесь имеется, но не $f$, а $ \times $. Это как раз двухместная функция. Она вводится в теории множеств как консервативное расширение языка вместе с другими функциями такими как, объединение двух множеств, пара двух множеств, упорядоченная пара двух множеств и т.д.

PAV писал(а):

Я не собираюсь определять $f$, это ваше дело. Как хотите - так и определяйте.

Вообще-то говоря, определение (или понимание) $\operatorname{f} (\operatorname{a} ,\operatorname{a} )$ является темой дискуссии. Правильно ли я Вас понял, Вам нечего сказать по теме?

PAV писал(а):

"Проблема" возникает из-за того, что вы наделяете математические объекты какими-то свойствами и отношениями, которые те на самом деле не имеют.

Что Вы имеете в виду? Какие свойства и отношения я приписываю объектам?

PAV писал(а):

Все остальное, что было написано - это Ваши личные домыслы. Если Вы сами придумываете объектам новые свойства, то сами с ними и разбирайтесь, чего Вы от других хотите услышать?

Буду Вам признателен, если Вы укажете, какие мои утверждения Вы считаете домыслами. Пока что это обвинение звучит голословно. Вы не даете мне возможности ни исправиться, ни защититься.

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

зачем здесь множество операций на А разбито на два подмножества?

Прошу прощения, описка

С разными вариациями алгебраической системой (А.И.Мальцев), алгебраической структурой (Бурбаки) называют объект $\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle $, где $A$ есть непустое множество, $\Omega _F $ - множество операций на $A$, $\Omega _P $ - множество предикатов на $A$. Под сигнатурой (Ершов), типом (Мальцев), родом (Бурбаки) понимают функцию, которая задают арность для произвольной функции из $\Omega _F $ и произвольного предиката из $\Omega _P $.

Brukvalub писал(а):

термин: "арность"? Такого слова я ранее не встречал.

Происходит от термина "n-арность". тоже, что и «местность».

Brukvalub писал(а):

Что такое изоморфизм систем?

Изоморфизм определяется для двух систем $\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle $ и $\langle B,\Omega _G ,\Omega _R \rangle $, которые имеют одинаковую сигнатуру. Одинаковость сигнатур означает, что существуют два отображения $\mu :\Omega _F \leftrightarrow \Omega _G $ и $\nu :\Omega _P \leftrightarrow \Omega _R $, такие что $(\forall f \in \Omega _F )\left| f \right| = \left| {\mu (f)} \right|$ и $(\forall p \in \Omega _P )\left| p \right| = \left| {\nu (p)} \right|$, где $\left| f \right|$ означает арность (местность) функции $f,\;(\left| f \right| \in \mathbb{N})$. Если $f$ константа, то $\left| f \right| = 0$. Если $f$ одноместная функция, то $\left| f \right| = 1$.

Изоморфизм двух систем с одинаковой сигнатурой означает существование отображения $h:A \leftrightarrow B$ такого, что

\[ (\forall f \in \Omega _F )(\forall x_1 \in A) \cdots (\forall x_{\left| {\mu (f)} \right|} \in A)h(f(x_1 , \ldots ,x_{\left| {\mu (f)} \right|} )) = \mu (f)(h(x_1 ), \ldots ,h(x_{\left| {\mu (f)} \right|} )) \]

и

\[ (\forall p \in \Omega _P )(\forall x_1 \in A) \cdots (\forall x_{\left| {\nu (p)} \right|} \in A)p(x_1 , \ldots ,x_{\left| {\nu (p)} \right|} )) \equiv \nu (p)(h(x_1 ), \ldots ,h(x_{\left| {\nu (p)} \right|} )) \]

Следует иметь в виду, что приведенные формулы не являются однозначными. Для строгих формулировок необходимо вводить обозначения для лингвистических переменных. Но для наших нужд в этом нет необходимости, потому что приведенные выше формулы не будут использоваться нами в общем случае, а только для конкретных данных систем, например, арифметики. В них кванторы по "$f$" и "$p$" заменяются логическими связками "И".

Someone

Someone писал(а):

Алфавит и входящие в него символы также являются объектами некоторой теории, средствами которой описывается язык изучаемой теории. В частности, имена объектов сами являются объектами некоторой теории. Почему объекты одной теории мы можем размножать произвольным образом, как захотим, а объекты другой - не можем?

Хорошо, что Вы начали выдвигать контраргументы.
Отвечаю. Потому что теория, в которой мы изучаем некие объекты, в частном случае, другие теории, дана нам непосредственно и содержательно, а не как внешний объект. В ней мы строим утверждения об объектах, проводим доказательства. В частности, при доказательстве нам может понадобиться неопределенно большое число переменных. Поэтому в теории мы имеем возможность создавать объекты по мере необходимости. Хотя сама эта возможность может быть строго определенной. Также мы можем строить доказательства произвольной длинны, и формулы, которые в них встречаются могут быть также произвольно длинными.

Someone писал(а):

Функция - это не машина по переработке одних объектов в другие, а просто соответствие: если первый аргумент функции соответствует объекту $a$, второй - объекту $b$, то результат соответствует объекту $c$. Нет никаких оснований утверждать, что аргументы функции (и её результат) не могут соответствовать одному и тому же объекту, сколько бы этих аргументов ни было.

Очень хорошо. Так Вы объясните, между чем и чем устанавливается соответствие в случае $\operatorname{f} (\operatorname{a} ,\operatorname{a} )$. Раз это так просто, почему бы Вам ни сказать это вместо того, чтобы гадать, кто я такой? Вы же не хотите тратить время. Так зачем же Вы его тратите?

Someone писал(а):

Вы об изоморфизме чего говорите?

Я говорил об изоморфизме (точнее, отсутствия оного) для множества натуральных чисел, в котором операция сложения в одном случае задается от двух аргументов, а во втором случае — от одного (упорядоченной пары).

Someone писал(а):

Покажите, пожалуйста, что это действительно так, то есть, что без многоместных функций принципиально нельзя обойтись.

Я не утверждал, что «принципиально нельзя обойтись». Все зависит от цены, которую приходится платить. В большинстве случаев эта цена столь велика, что можно говорить и о невозможности обойтись без многоместных функций. Что я имею в виду? Чтобы заменить многоместную функцию на одноместную, надо изменить универсум. Другими словами, свойства, которые раньше выражались на языке многоместных функций, сейчас выражаются на языке одноместных функций, но в другом (расширенном) универсуме. Такой переход из одного универсума в другой расширенный далеко не всегда оправдан и может принципиально противоречить задачам, которые стоят перед конкретной теорией.

Someone писал(а):

Возникают проблемы с интерпретацией равенства. Равенство $a=b$ означает, что $a$ и $b$ - один и тот же объект. У Вас же это нарушается: Ваши "тождественные" объекты - это разные объекты.

Еще раз спасибо за контраргумент. Вы совершенно правы, возникает проблема с интерпретацией равенства, но она легко преодолевается путем изменения интерпретации равенства. Равенство объектов на самом деле теперь будет означать свойство их равенства, тождественности, а не факт совпадения предмета самому себе.

Someone писал(а):

Поэтому мы можем определить функцию, которая на разных "тождественных" объектах будет принимать отнюдь не "тождественные" значения.

Не можем по определению: раз предметы тождественны все их свойства будут одинаковыми. Отсюда следует аксиома равенства (замена равных): что верно для одного объекта, будет верно и для любого другого тождественного ему, что получается путем применения функции к одному предмету, будет тождественно с тем, что получится при применении этой функции к другому тождественному предмету.

Someone писал(а):

Во всяком случае, совокупность объектов, "тождественных" числу $1$, не может быть множеством.

Абсолютно верно! Оно не может быть множеством, в котором, с точки зрения теории множеств, содержится более одного предмета. Именно поэтому с точки зрения теории множеств все останется по-старому и никаких новых парадоксов не возникает.

Ведь можете, если захотите!!!

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

...

Brukvalub писал(а):

Что такое изоморфизм систем?

Изоморфизм определяется для двух систем $\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle $ и $\langle B,\Omega _G ,\Omega _R \rangle $, которые имеют одинаковую сигнатуру. Одинаковость сигнатур означает, что существуют два отображения $\mu :\Omega _F \leftrightarrow \Omega _G $ и $\nu :\Omega _P \leftrightarrow \Omega _R $, такие что $(\forall f \in \Omega _F )\left| f \right| = \left| {\mu (f)} \right|$ и $(\forall p \in \Omega _P )\left| p \right| = \left| {\nu (p)} \right|$, где $\left| f \right|$ означает арность (местность) функции $f,\;(\left| f \right| \in \mathbb{N})$. Если $f$ константа, то $\left| f \right| = 0$. Если $f$ одноместная функция, то $\left| f \right| = 1$.
Изоморфизм двух систем с одинаковой сигнатурой означает существование отображения $h:A \leftrightarrow B$ такого, что

\[ (\forall f \in \Omega _F )(\forall x_1 \in A) \cdots (\forall x_{\left| {\mu (f)} \right|} \in A)h(f(x_1 , \ldots ,x_{\left| {\mu (f)} \right|} )) = \mu (f)(h(x_1 ), \ldots ,h(x_{\left| {\mu (f)} \right|} )) \]

и

\[ (\forall p \in \Omega _P )(\forall x_1 \in A) \cdots (\forall x_{\left| {\nu (p)} \right|} \in A)p(x_1 , \ldots ,x_{\left| {\nu (p)} \right|} )) \equiv \nu (p)(h(x_1 ), \ldots ,h(x_{\left| {\nu (p)} \right|} )) \]

...

Простие великодушно, но я снова не все понял. Для обозначения отображения Вы нарисовали какую-то странную стрелочку" $ \leftrightarrow \ $", которых я ни в каких книжках по математике для обозначения отображений раньше не встречал (а у меня много таких книжек. и на досуге я люблю рассматривать в таких книжках картинки, и все их стараюсь запомнить), при определении изоморфизма систем нигде не упоминается биективность или хотя бы сюръективность определяющего изоморфизм отображения... Зачем так заморачиваться на тонкостях определения операции сложения двух единиц, если при этом так небрежно писать главные определения теории алгебраических систем?

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Зачем так заморачиваться на тонкостях определения операции сложения двух единиц

Для этого у меня есть личные причины.

Brukvalub писал(а):

так небрежно писать главные определения теории алгебраических систем?

Если Вам непонятно, то лчше спросите, чем делать поспешные выводы.

$f:A \leftrightarrow B \rightleftharpoons f:A \to B \wedge f^{ - 1} :B \to A$

Ведь я для Вас старался дать определение изоморфизма, которое, как Вы говорите, уже видели в книжках. Могли бы быть немного вежливее.

[PAV]

Sashamandra писал(а):

PAV писал(а):

Двуместная функция $f:A\times A\to B$.

Ваша формула из теоретико-множественного контекста? Тогда вынужден Вас огорчить, Вы ошибаетесь. $f$ не является функцией ни одноместной, ни двухместной, а предметом, точнее, множеством, о котором утверждается, что оно обладает свойством «быть (так называемой) функцией, с такой-то областью определения и значениями, принадлежащими такому-то множеству». Чтобы не путать множество $f$ с настоящими функциями, ее более строго называют «графиком функции». Однако функция здесь имеется, но не $f$, а $ \times $. Это как раз двухместная функция. Она вводится в теории множеств как консервативное расширение языка вместе с другими функциями такими как, объединение двух множеств, пара двух множеств, упорядоченная пара двух множеств и т.д.

Цитата:

Функция - одно из основных понятий математики. Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, который обозначен через $f(x)$. В этом случае говорят, что на множестве $X$ задана функция $f$ ... и пишут $f:X\to Y$.

Математическая энциклопедия, т.5, стр. 712.

Обсуждать определение функции я не собираюсь. Я еще раз (последний) заявляю, что переход от одноместных функций к многоместным есть по сути введение новых обозначений, но не принципиально нового математического объекта.

Sashamandra писал(а):

PAV писал(а):

Я не собираюсь определять $f$, это ваше дело. Как хотите - так и определяйте.

Вообще-то говоря, определение (или понимание) $\operatorname{f} (\operatorname{a} ,\operatorname{a} )$ является темой дискуссии. Правильно ли я Вас понял, Вам нечего сказать по теме?

По теме определения (или понимания) какого-то абстрактного $f(a,a)$ мне сказать нечего. Если Вы хотите обсуждать определение операции сложения натуральных чисел, то это определение существует и работает, хотите - разбирайтесь.

Sashamandra писал(а):

PAV писал(а):

"Проблема" возникает из-за того, что вы наделяете математические объекты какими-то свойствами и отношениями, которые те на самом деле не имеют.

Что Вы имеете в виду? Какие свойства и отношения я приписываю объектам?

PAV писал(а):

Все остальное, что было написано - это Ваши личные домыслы. Если Вы сами придумываете объектам новые свойства, то сами с ними и разбирайтесь, чего Вы от других хотите услышать?

Буду Вам признателен, если Вы укажете, какие мои утверждения Вы считаете домыслами. Пока что это обвинение звучит голословно. Вы не даете мне возможности ни исправиться, ни защититься.

Цитирую Ваш первый пост в этой теме.

Sashamandra писал(а):

Аналогичным образом, если к единице прибавим другую единицу, получим два, а если к единице прибавим ту же самую единицу, единица и останется единицей. Так как по-вашему, сколько единиц существует?

У математического понятия "число" нет такого свойства "быть тем же самым" или "быть другим" (как физические объекты). Равно как и нет в математике понятия "количество (различных) единиц". Это и есть те свойства, которые Вы сами придумали. Вы не только наделяете числа новыми свойствами, но и хотите, чтобы с этими свойствами менялись общепринятые операции над числами. Т.е. Вы уже работаете не с общепринятыми натуральными числами, а с какими-то другими, придуманными Вами. К обычным числам это отношения не имеет.

На сем я из дискуссии выхожу. На мой взгляд, Вам уже тут все участники написали много здравых идей, которые вполне отвечают на те вопросы, которые Вы задавали. Ничего нового по сравнению со сказанным я уже не напишу. Если Вы действительно хотите разобраться, то как следует еще раз все перечитав, сможете это сделать. А если Вы хотите пропагандировать какие-то свои альтернативные идеи, то никакие здравые аргументы тут уже не помогут.

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

Brukvalub...$f:A \leftrightarrow B \rightleftharpoons f:A \to B \wedge f^{ - 1} :B \to A$
Ведь я для Вас старался дать определение изоморфизма, которое, как Вы говорите, уже видели в книжках. Могли бы быть немного вежливее.

За определение - спасибо. Я говорил лишь то, что не встречал ранее обозначения биекции с помощью двойной стрелки ни в прослушанных мной за 8 лет (5 - в студенчестве и 3 - в аспирантуре) курсах лекций на мех-мате, ни в прочитанных мной книгах по математике. Скажите, эту стрелочку Вы сами придумали, или это общепринятое обозначение в какой-либо части математики? А упреком в невежливости удивлен: перечитал еще раз свой пост и примерил его текст на себя - я бы не обиделся.

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Скажите, эту стрелочку Вы сами придумали, или это общепринятое обозначение в какой-либо части математики?

Я припоминаю, обозначение $f:A \leftrightarrow B$ возникло под влиянием некоторых формулировок в функциональном анализе. Например, там можно встретить такие выражения: «Имеется взаимно однозначное соответствие $A \leftrightarrow B$ между элементами множеств $A$ и $B$». Мне показалось, что обозначение $f:A \leftrightarrow B$ очень лаконично и выразительно.

Я сейчас посмотрел свои книжки, и мне попалось следующее.
Н. И. Казимиров. Введение в аксиоматическую теорию множеств. Петрозаводск 2000. С. 19. «Для обозначения того факта, что $f$ биекция из $A$ в $B$, мы используем символ $f:A \leftrightarrow B$.
Elias Zakon. Basic Concepts of Mathematics. P. 23. “If is both onto and one-to-one, we write $f:A \leftrightarrow B$”.

Кстати, свойство «$f$ является инъекцией из $A$ в $B$» я выражаю формулой $f:A \mapsto B$, а свойство «$f$ является сюръекцией из $A$ на $B$» — формулой $f:A \to \shortmid B$. Штришок слева от стрелки намекает, что все множество $A$ вставляется как целое (без слияния элементов) в множество $B$, а штришок справа от стрелки намекает, что все множество $B$ как целое покрывается образом множества $A$. Вам нравится?

Brukvalub писал(а):

А упреком в невежливости удивлен: перечитал еще раз свой пост и примерил его текст на себя - я бы не обиделся.

Ваше выражение "заморачиваться" не из нормативной лексики. Теперь я понимаю, что Вы меня таким образом приглашаете к фамильярным отношениям. Хорошо. Приглашение принимаю, а свои слова беру назад.

[AlexDem]

Sashamandra, извините, что вмешиваюсь, но что у Вас такое "универсум"? Если множество, то какова его мощность?..

[PAV]

Sashamandra писал(а):

Ваше выражение "заморачиваться" не из нормативной лексики.

Ничего ненормативного в данном слове нет. Просто современная форма от обычного слова "морочить".

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

..свойство «$f$ является инъекцией из $A$ в $B$» я выражаю формулой $f:A \mapsto B$, а свойство «$f$ является сюръекцией из $A$ на $B$» — формулой $f:A \to \shortmid B$. Штришок слева от стрелки намекает, что все множество $A$ вставляется как целое (без слияния элементов) в множество $B$, а штришок справа от стрелки намекает, что все множество $B$ как целое покрывается образом множества $A$. Вам нравится?

Да, мне очень понравилось.

Sashamandra писал(а):

Ваше выражение "заморачиваться" не из нормативной лексики. Теперь я понимаю, что Вы меня таким образом приглашаете к фамильярным отношениям. Хорошо. Приглашение принимаю, а свои слова беру назад.

Ну вот, наконец-то и у меня появился на форуме настоящий друг, который вдобавок научил меня разным стрелочкам Жизнь налаживается!

[Sashamandra]

AlexDem
Ага, свежая голова появилась. Сейчас мы ее замутим.

AlexDem писал(а):

что у Вас такое "универсум"? Если множество, то какова его мощность?..

Понятия не имею. Точнее, в теории универсума в общем случае нет ни понятия мощности, ни понятия множества. Более того, универсумы и, следовательно, их теории могут быть разными. Это может быть платоновский мир, абстрактные и не очень идеи и построения моего ума, и, не побоюсь этого слова, вращающиеся железные шестеренки.

Так, что же тогда есть универсум рассуждения? Может это какой-то особый мир, в который открыт доступ только достигшим высочайших степеней посвящения великим мастерам математики? Нет, универсум это все то, что описывается адекватно или не очень языком логики первого порядка. Язык логики первого порядка (в первом приближении) как бы проецирует мир по трем направлениям (по трем способам представления мира):
1) существование; 2) качество; 3) взаимодействие. Существование представляется предметами, или объектами, качества представляются предикатами разной местности, а взаимодействия — функциями разной местности. В теории предметы обозначаются именами, или константами, предикаты — предикатными n-арными символами, а функции — функциональными n-арными символами.

Функции, о которых у нас идет речь, в универсуме могут быть логическими соответствиями логических элементов, как любезно нам напомнил безвременно выбывший из игры PVP, могут быть логическими преобразованиями логических конструкций, превращениями физических частиц или их движениями и изменениями.

Пользуясь случаем, официально заявляю. Я никому не позволю лишать меня законного права описывать милые моему сердцу железные шестеренки языком логики первого порядка! Так и запишите!

Считать ли проекцию мира на язык логики первого порядка новым или тем же миром, — решать Вам. Я предпочитаю называть его так, как есть, — тем же миром, познанным с определенной точки зрения. Во-первых, мы же не говорим, что картинки, полученные при распечатке одной и той же фотографии на цветном и черно-белом принтере, изображают два разных мира. Во-вторых, только о познанном мире мы и можем говорить, в том числе на языке логики первого порядка, о непознанном же мире мы, по определению, ничего сказать не можем, даже то, что он не познан.

Свойства функций в теории представлены двояко: лингвистически и теоретически. Лингвистическое представление, например, двухместной функции $f$ сводится к правилу: если $t_1$ и $t_2$ термы, то $f(t_1 ,t_2 )$ — терм. Ну, а терм есть выражение на языке теории, значением которого является предмет универсума. Теоретически функция представлена в теории определяющими ее свойствами, которые могут быть в дальнейшем объявлены аксиомами дедуктивной теории.

Каждая теория определяется конечной совокупностью констант, предикатных и функциональных символов, а также совокупностью формул, которые в определенном смысле считаются истинными для данного универсума.

Рай Кантора, в котором слово сразу становится делом, уже не будет универсумом в указанном выше смысле.

Как видите, нужды обращения к теории множеств не возникает. А за вопрос спасибо, он нас сильно продвинул в понимании того, что такое $1 + 1$.

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Жизнь налаживается!

Неужели все так плохо? Могу ли я чем помочь?

Brukvalub писал(а):

научил меня разным стрелочкам

Не обессудь за бесконечный малый вклад. Согласись, что он все же отличен от нуля. Хотя, кажется, это уже из нестандартного анализа.

Brukvalub писал(а):

мне очень понравилось

Ну, тогда вот еще стрелочки ©.

Если в дополнение к теоретико-множественным функция обладает специфическими свойствами, например, непрерывностью, дифференцируемостью, то удобно это обозначать так $f:A \Rightarrow B$ с переносом сюда правила вертикального штриха слева или справа от стрелки. Более строго, непрерывное преобразование обозначается так $f:\langle A,\mathcal{O}\rangle \Rightarrow \langle B,\mathcal{T}\rangle $, где $\langle A,\mathcal{O}\rangle $ и $\langle B,\mathcal{T}\rangle $ — два топологических пространства. Приведенное выше определение изоморфизма тогда будет выражаться так $h:\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle \Leftrightarrow \langle B,\Omega _G ,\Omega _R \rangle $ или небрежно $h:A \Leftrightarrow B$.

[AlexDem]

Sashamandra писал(а):

Ага, свежая голова появилась. Сейчас мы ее замутим.

Это вряд ли

Словарь терминов логики:

Предметная Область - или: Универсум рассуждения, область теории, - множество объектов, рассматриваемых в пределах отдельного рассуждения, научной теории. П. о. включает прежде всего индивиды, т. е. элементарные объекты, изучаемые теорией, а также свойства, отношения и функции, рассматриваемые в теории. Напр., П. о. в зоологии служит множество животных, в теории чисел - натуральный ряд чисел, в логике предикатов - любая фиксированная область, содержащая по меньшей мере один предмет. П. о., соединяющая в единство разнотипные объекты, изучаемые в какой-то теории, представляет собой логическую абстракцию. Допущение существования П.о. нетривиально, ибо в обычных рассуждениях далеко не всегда удается удовлетворить ему естественным образом.

[Sashamandra]

AlexDem
И... Какой вывод? Вы меня о чем спрашивали? Умею ли я читать, или какое понятие я употребляю?

[AlexDem]

Sashamandra писал(а):

Вы меня о чем спрашивали?

Я спрашивал о мощности множества, которое Вы называете универсумом.

[Sashamandra]

AlexDem
И Вы получили на него ответ?

[AlexDem]

Sashamandra писал(а):

И Вы получили на него ответ?

К сожалению - нет, так как Вы сказали, что множество - это не множество, хотя по определению - универсум все же является множеством, поэтому у него должна быть какая-то мощность. Какая у Вашего универсума мощность - Вы не уточнили...