Комбинаторная задачка.

[Whitaker]

Здравствуйте! Вот наткнулся на такую задачку в Виленкине.

В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех 5 курсов. Любые 2 однокурсника придумали одинаковое число задач. Любые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало 1 задачу?

Не знаю даже как к ней подступиться. Вот есть такая мысль.
Например если со всех пяти курсов взяли соответственно 26+1+1+1+1=30 человек. Понятно, что 26 человек с одного курса могут составить только по одной задачке (они не могу составить более одной задачи, так как возникает противоречие). А в других случаях пока не знаю что делать. Вот это единственное, что пока летает в голове.
Буду рад если кто-то что-нибудь посоветует.

[bnovikov]

Пусть $x_i$ - число студентов на $i$-м курсе, $y_i$ - число задач от студента $i$-го курса. Переупорядочите игреки:
$y_1<\ldots < y_5$ (номера курсов на самом деле не играют никакой роли), составьте 2 уравнения и т.д.

[VAL]

Whitaker в сообщении #457757 писал(а):

Здравствуйте! Вот наткнулся на такую задачку в Виленкине.

В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех 5 курсов. Любые 2 однокурсника придумали одинаковое число задач. Любые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало 1 задачу?

Не знаю даже как к ней подступиться. Вот есть такая мысль.
Например если со всех пяти курсов взяли соответственно 26+1+1+1+1=30 человек. Понятно, что 26 человек с одного курса могут составить только по одной задачке (они не могу составить более одной задачи, так как возникает противоречие). А в других случаях пока не знаю что делать. Вот это единственное, что пока летает в голове.
Буду рад если кто-то что-нибудь посоветует.

Вы ведь практически сами уже все решили. Случай $26\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 4+1\cdot5=40$ подходит. Во всех остальных получается больше 40 задач.

[Whitaker]

VAL в сообщении #457802 писал(а):

Во всех остальных получается больше 40 задач.

Можете показать почему так получается?
У меня что-то это доказать не получается.

[VAL]

Whitaker в сообщении #458099 писал(а):

VAL в сообщении #457802 писал(а):

Во всех остальных получается больше 40 задач.

Можете показать почему так получается?
У меня что-то это доказать не получается.

С моей точки зрения, лучшее доказательство состоит из одного слова - "очевидно".
Но раз Вам не очевидно, поступите как рекомендовал bnovikov.

Или решите такую задачу: "Какое минимальное количество задач могли составить 30 студентов с пяти курсов, если известно, что любые 2 однокурсника придумали одинаковое число задач, а любые два студента с разных курсов придумали разное число задач?"