Найти функцию распределения случайной величины

[Someone]

Нет. Почему плотность длины хорды зависит не от длины, а от угла?

farewe11 в сообщении #457522 писал(а):

Вернее, отрезок $(-1;1)$, на котором изменяется $l$.

Нет. Вы по чертежу не видите, что длина хорды изменяется от 0 до 2?

farewe11 в сообщении #457522 писал(а):

Только всё дело в том, что у меня нет понятия, как найти функцию сразу.

А определение функции распределения случайной величины Вы знаете?

P.S. У Вас неудачные обозначения, провоцирующие путаницу, поскольку плотность различных случайных величин Вы обозначаете одинаково. Удобно индексом указывать случайную величину: $p_X(x)$ и т.п..

[farewe11]

Цитата:

Почему плотность длины хорды зависит не от длины, а от угла?

Вы имеете в виду, что надо выразить угол через длину и подставить это выражение в выражение для плотности $l$? Это можно сделать. Сейчас, только попытаюсь у Вас же уточнить - можно ли проще сделать. :)

Цитата:

А определение функции распределения случайной величины Вы знаете?

Конечно. Общее определение: $F(x)$ - это вероятность того, что случайная величина $X$ примет при испытании значение, меньшее, чем $x$. Всё-таки одного определения мне мало, чтобы понять всю эту систему, подскажите, пожалуйста, как всё-таки найти эту функцию?
Если подумать: наиболее высокая плотность распределения длины хорды - в районе точки $(-1;0)$, то есть при малых углах $\alpha$. А по моей формуле плотности, чем меньше $\alpha$, тем плотность... меньше. Явно ошибка.
Направьте, пожалуйста, в правильную сторону. Голова совсем уже не соображает просто.

[Someone]

farewe11 в сообщении #457755 писал(а):

Вы имеете в виду, что надо выразить угол через длину и подставить это выражение в выражение для плотности $l$?

В Ваше выражение нет смысла подставлять, оно неправильное.

farewe11 в сообщении #457755 писал(а):

Общее определение: $F(x)$ - это вероятность того, что случайная величина $X$ примет при испытании значение, меньшее, чем $x$.

То есть, $F_X(x)=\mathrm P(X<x)$.
Так вот, нам задана случайная величина $\mathrm A$ (угол, равномерно распределённый на промежутке $\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$) с функцией распределения ... Какая там функция распределения-то?

$$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}.....\text{ при }\alpha\leqslant-\frac{\pi}2,\\.....\text{ при }-\frac{\pi}2<\alpha\leqslant\frac{\pi}2,\\.....\text{ при }\alpha>\frac{\pi}2.\end{cases}$$

Длина хорды, соответствующая углу $\alpha$, как Вы сами написали, равна $l=2\cos\alpha$, поэтому мы имеем случайную величину $L=2\cos\mathrm A$. И нам требуется найти её функцию распределения

$$F_L(l)=\mathrn P(L<l)=P(2\cos\mathrm A<l)=\ldots$$

Выразите это через $F_{\mathrm A}$, и всё получится. Не забывайте, что множество возможных значений $L$ - промежуток $[0,2]$, поэтому результат должен быть записан в виде

$$F_L(l)=\begin{cases}.....\text{ при }l\leqslant 0,\\.....\text{ при }0<l\leqslant 2,\\.....\text{ при }l>2.\end{cases}$$

[farewe11]

Отлично, спасибо! В принципе, понял даже! :)

Цитата:

Какая там функция распределения-то?

Вот такая:
$F(\alpha) = 0$, при $\alpha\notin[-\frac\pi2;\frac\pi2]$
А для $\alpha\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]$ функция распределения равна
$\int\limits_{-\infty}^{\alpha}\frac1\pi$ (ну, насколько я помню, интеграл от плотности распределения величины.)
Боюсь написать глупость, но, по-моему, этот интеграл расходится..

[Someone]

farewe11 в сообщении #457763 писал(а):

$F(\alpha) = 0$, при $\alpha\notin[-\frac\pi2;\frac\pi2]$

Неверно. Используйте для набора формулы шаблон, который я специально сделал в предыдущем сообщении (и запомните, как это пишется)), и не забывайте в индексе указывать случайную величину, к которой относится функция распределения или плотность вероятности, иначе ничего, кроме путаницы, не получится.

farewe11 в сообщении #457763 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{\alpha}\frac1\pi$ (ну, насколько я помню, интеграл от плотности распределения величины.)

Господи, ну какой там интеграл... Пусть даже и интеграл, но не такой же. И вычислить его надо.

[farewe11]

Кстати, почему неверно, что $F_A(\alpha) = 0$ для $\alpha\leqslant -\frac\pi2$? Ведь вероятность того, что наш угол окажется еще меньшим - равна нулю...
Да и про интеграл: я хочу найти функцию по определению: Функция распределения равняется интегралу от плотности. А плотность $p(\alpha) = \frac1\pi$. Что ж неправильного? )

[Someone]

farewe11 в сообщении #457770 писал(а):

Кстати, почему неверно, что $F_A(\alpha) = 0$ для $\alpha\leqslant -\frac\pi2$?

Это верно, но ведь Вы прошлый раз написали не так.

farewe11 в сообщении #457770 писал(а):

Да и про интеграл: я хочу найти функцию по определению: Функция распределения равняется интегралу от плотности. А плотность $p(\alpha) = \frac1\pi$. Что ж неправильного?

Интеграл написан неправильно (где $d\,\alpha$?), да и плотность вероятности не при всех $\alpha$ равна $\frac 1{\pi}$.

(Оффтоп)

Ладно, я пошёл спать.

[farewe11]

$$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}0\text{ при }\alpha\leqslant-\frac{\pi}2,\\\frac\alpha\pi+\frac12\text{ при }-\frac{\pi}2<\alpha\leqslant\frac{\pi}2,\\1\text{ при }\alpha>\frac{\pi}2.\end{cases}$$

К такому выводу я пришел.
Теперь же я могу частично написать функцию распределения искомую:

$$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}0\text{ при }l\leqslant0,\\???\text{ при }0<l\leqslant2,\\1\text{ при }l>2.\end{cases}$$

Осталось выяснить, что же должно быть на месте знаков вопроса.

$$F_L(l) = P(L<l) = P(2\cdot\cos A < 2\cdot\cos\alpha) = P(\cos A < \cos\alpha) = P(A>\alpha)$$

, так, что ль?)

[Someone]

Нет. Откуда взялось какое-то $\alpha$?

Someone в сообщении #457762 писал(а):

$$F_L(l)=\mathrn P(L<l)=P(2\cos\mathrm A<l)=\ldots$$

И тригонометрическое неравенство нужно решить правильно. С учётом области значений $\mathrm A$.

[farewe11]

Цитата:

Откуда взялось какое-то $\alpha$?

У нас же $l$ выражается выражением $2\cdot\cos\alpha$.
Вот это выражения я сюда и подставил: $\dotsP(2\cdot\cos A < l)$

[Someone]

farewe11 в сообщении #457861 писал(а):

У нас же $l$ выражается выражением $2\cdot\cos\alpha$.

Мало ли что оно где-то когда-то так выражалось. В этом месте - нет, потому что самого $\alpha$ нет.
Решайте тригонометрическое неравенство. Если не помните формулы, нарисуйте на тригонометрическом круге или на графике.

-- Вт июн 14, 2011 14:14:40 --

Кстати, неравенство $\cos\mathrm A<\cos\alpha$ имеет не такое решение, какое Вы написали.

[farewe11]

Нарисуем на круге:

$$2\cdot\cos A < l; A\in [-\frac\pi2;\frac\pi2]$$

$$A>\arccos\frac l2$$

Вроде так.
Надо найти вероятность теперь этого события - то и будет искомая функция распределения. Кстати, я тут попробовал решить другим способом, ответ получился:

$$F_L(l) = \frac1\pi\cdot\arccos\frac l2$$

при $l\in[0;2]$
Решал старым путем наибольшего сопротивления: находил плотность распределения длины хорды, используя формулу $|(f^{-1}(l))'|\cdot p_A(\alpha)$... Верно ли?

[Someone]

farewe11 в сообщении #458080 писал(а):

$$A>\arccos\frac l2$$

Нет. Попробуйте нарисовать график косинуса на отрезке $\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$ и посмотреть, где будет $\cos\mathfrak A<\frac l2$. Там два промежутка должны получиться.

farewe11 в сообщении #458080 писал(а):

$$F_L(l) = \frac1\pi\cdot\arccos\frac l2$$

Неправильно. Это убывающая функция.

[farewe11]

Ааа, вот: $A\in [-\frac\pi2; -arccos\frac l2]\bigcup[arccos\frac l2; \frac\pi2]$ (в кои-то веки я перестал писать глупости, или не? ) :)
Надо найти вероятность того, что $A$ принадлежит хоть одному из этих промежутков и умножить на $2$...

[Someone]

Надо не умножать на два, а сложить вероятности попадания в эти промежутки. Всё выражается через $F_{\mathrm A}(\alpha)$.