Помогите доказать, что в последовательности нет кубов

[Xenia1996]

Последовательность 2, 3, 7, 22, 155, 3411, ... строится следующим образом:
$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$
Доказать, что в ней нет ни квадратов, ни кубов.

То, что нет квадратов, очевидно - остатки на 4 повторяются: 233, 233, 233...
Следовательно, ни квадратов, ни кубов чётных чисел там нет.

А вот как доказать, что нет кубов нечётных чисел?
Пробовала другие остатки (в частности на 7 и 9) - не прокатывает.

Готова думать, очень хочу решить сама, натолкните, пожалуйста, на мысль.
Заранее благодарна!

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #457437 писал(а):

$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$

А нет ли опечатки: вдруг вместо $+1$ там $-1$. Откуда задача?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #457460 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457437 писал(а):

$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$

А нет ли опечатки: вдруг вместо $+1$ там $-1$. Откуда задача?

Задача отсюда: http://www.math.ksu.edu/~zlin/olympiad/oly-99.html (самая последняя внизу).
Давайте решим, что там опечатка и докажем с минусом

[nnosipov]

С минусом ничего интересного --- модуль $9$. А с плюсом --- это Вы сами придумали (про кубы и квадраты) Но здесь может вообще решения не быть. То есть задача может оказаться слишком сложной.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #457468 писал(а):

С минусом ничего интересного --- модуль $9$.

2 3 5 5 6 2 2 - квадратов нет, кубов - тоже. Как насчёт других степеней (скажем, пятых)?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #457474 писал(а):

Как насчёт других степеней (скажем, пяьых)?

Если только повезёт. Такие задачи, как правило, не решаются. Но полезно выяснить, по каким модулям 5-е степени дают мало остатков.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #457478 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457474 писал(а):

Как насчёт других степеней (скажем, пяьых)?

Если только повезёт. Такие задачи, как правило, не решаются. Но полезно выяснить, по каким модулям 5-е степени дают мало остатков.

У меня такое ощущение, что в последовательностях данного типа вообще не бывает степеней (кроме первой ) за исключением очень маленьких чисел (0 или 1).

Кстати, такую же задачу только что нашла тут: http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=78515
Вывод: то, что в Первопрестольной предлагают в седьмом классе, на Острове Грехов и Разврата предлагают в двенадцатом...