2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 13:25 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Последовательность 2, 3, 7, 22, 155, 3411, ... строится следующим образом:
$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$
Доказать, что в ней нет ни квадратов, ни кубов.

То, что нет квадратов, очевидно - остатки на 4 повторяются: 233, 233, 233...
Следовательно, ни квадратов, ни кубов чётных чисел там нет.

А вот как доказать, что нет кубов нечётных чисел?
Пробовала другие остатки (в частности на 7 и 9) - не прокатывает.

Готова думать, очень хочу решить сама, натолкните, пожалуйста, на мысль.
Заранее благодарна!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:14 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Xenia1996 в сообщении #457437 писал(а):
$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$

А нет ли опечатки: вдруг вместо $+1$ там $-1$. Откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:26 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #457460 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457437 писал(а):
$a_1=2, a_2=3, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+1$

А нет ли опечатки: вдруг вместо $+1$ там $-1$. Откуда задача?

Задача отсюда: http://www.math.ksu.edu/~zlin/olympiad/oly-99.html (самая последняя внизу).
Давайте решим, что там опечатка и докажем с минусом :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
С минусом ничего интересного --- модуль $9$. А с плюсом --- это Вы сами придумали (про кубы и квадраты) :D Но здесь может вообще решения не быть. То есть задача может оказаться слишком сложной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:33 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #457468 писал(а):
С минусом ничего интересного --- модуль $9$.

2 3 5 5 6 2 2 - квадратов нет, кубов - тоже. Как насчёт других степеней (скажем, пятых)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:37 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Xenia1996 в сообщении #457474 писал(а):
Как насчёт других степеней (скажем, пяьых)?


Если только повезёт. Такие задачи, как правило, не решаются. Но полезно выяснить, по каким модулям 5-е степени дают мало остатков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что в последовательности нет кубов
Сообщение13.06.2011, 14:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #457478 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457474 писал(а):
Как насчёт других степеней (скажем, пяьых)?


Если только повезёт. Такие задачи, как правило, не решаются. Но полезно выяснить, по каким модулям 5-е степени дают мало остатков.

У меня такое ощущение, что в последовательностях данного типа вообще не бывает степеней (кроме первой :D ) за исключением очень маленьких чисел (0 или 1).

Кстати, такую же задачу только что нашла тут: http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=78515
Вывод: то, что в Первопрестольной предлагают в седьмом классе, на Острове Грехов и Разврата предлагают в двенадцатом...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group