Иррациональна ли сумма?

[Lunatik]

Иррациональны, или нет числа:
а) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} $
б) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2} $
Ответ, естественно, обосновать.

[Sonic86]

а) - значение известно

(немного похожая тема)

http://dxdy.ru/topic43794.html

В б) можно сделать аналогично доказательству а)
Пусть число рационально. Тогда его произведение на некое $a!^2$ целое. Находим дробную часть произведения и пытаемся доказать, что оно меньше 1. Наверное...

[Lunatik]

Sonic86 в сообщении #457141 писал(а):

а) - значение известно

(немного похожая тема)
topic43794.html

В б) можно сделать аналогично доказательству а)
Пусть число рационально. Тогда его произведение на некое $a!^2$ целое. Находим дробную часть произведения и пытаемся доказать, что оно меньше 1. Наверное...

Ну да, ну да))) Хотелось бы конечно подробнее доказательство пункта б) (я тормознул, когда пункт а) писал). Пока оно (подробное решение) тут появится, предлагаю задачку из той же оперы.
в) Из ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ удалены все члены, знаменатели которых содержат хотя бы одну цифру 9. Выяснить, сходится ли ряд из оставшихся членов

З. Ы. Олимпиады несложные (они вообще какие-то тривиальные, но написано, что для студентов). Хотел ещё на сходимость рядов дать задания, но не знаю, надо, или не надо...

[Equinoxe]

Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)
А Ваша задача в) довольно известна: http://en.wikipedia.org/wiki/Kempner_series

[Lunatik]

Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):

Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)

А вдруг не выйдет? ;)
А за ссылочку спасибо :)... уже боюсь на ряды задачи давать, вдруг все они известные...

[Equinoxe]

Lunatik, что значит не выйдет? Ещё как выйдет :)
Все дроби при домножении на $(a!)^2 $ (ну, типа если вся сумма равна b/a, то при домножении на (a!)^2 обязано получиться целое число) будут давать целое число, вплоть до $\frac 1 {(a!)^2}$. Все последующие будут давать нецелые. Однако эта сумма будет меньше 1/2+1/4+1/8+…=1, т.к. знаменатели будут расти быстрее. Всё.

[AD]

Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):

Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)

Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):

у Соника

Equinoxe,
пожалуйста, пишите ники пользователей "как есть", а то многие обижаются

[Sonic86]

(Оффтоп)

Equinoxe, я, если что, на Вас не обижаюсь