2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 16:19 
Иррациональны, или нет числа:
а) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} $
б) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2} $
Ответ, естественно, обосновать.

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 17:23 
а) - значение известно :-)

(немного похожая тема)

http://dxdy.ru/topic43794.html

В б) можно сделать аналогично доказательству а)
Пусть число рационально. Тогда его произведение на некое $a!^2$ целое. Находим дробную часть произведения и пытаемся доказать, что оно меньше 1. Наверное... :roll:

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 18:34 
Sonic86 в сообщении #457141 писал(а):
а) - значение известно :-)

(немного похожая тема)
topic43794.html

В б) можно сделать аналогично доказательству а)
Пусть число рационально. Тогда его произведение на некое $a!^2$ целое. Находим дробную часть произведения и пытаемся доказать, что оно меньше 1. Наверное... :roll:


Ну да, ну да))) Хотелось бы конечно подробнее доказательство пункта б) (я тормознул, когда пункт а) писал). Пока оно (подробное решение) тут появится, предлагаю задачку из той же оперы.
в) Из ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ удалены все члены, знаменатели которых содержат хотя бы одну цифру 9. Выяснить, сходится ли ряд из оставшихся членов

З. Ы. Олимпиады несложные (они вообще какие-то тривиальные, но написано, что для студентов). Хотел ещё на сходимость рядов дать задания, но не знаю, надо, или не надо...

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 18:53 
Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)
А Ваша задача в) довольно известна: http://en.wikipedia.org/wiki/Kempner_series

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 21:45 
Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):
Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)

А вдруг не выйдет? ;)
А за ссылочку спасибо :)... уже боюсь на ряды задачи давать, вдруг все они известные...

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение12.06.2011, 22:43 
Lunatik, что значит не выйдет? Ещё как выйдет :)
Все дроби при домножении на $(a!)^2 $ (ну, типа если вся сумма равна b/a, то при домножении на (a!)^2 обязано получиться целое число) будут давать целое число, вплоть до $\frac 1 {(a!)^2}$. Все последующие будут давать нецелые. Однако эта сумма будет меньше 1/2+1/4+1/8+…=1, т.к. знаменатели будут расти быстрее. Всё.

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение13.06.2011, 07:20 
Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):
Lunatik, пункт б) у Соника и без того достаточно полный :)
Equinoxe в сообщении #457176 писал(а):
у Соника
 i  Equinoxe,
пожалуйста, пишите ники пользователей "как есть", а то многие обижаются :wink:

 
 
 
 Re: Иррациональна ли сумма?
Сообщение13.06.2011, 17:05 

(Оффтоп)

Equinoxe, я, если что, на Вас не обижаюсь :-)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group