Вопросы по ЛЛ-1. Первая порция.

[Roy Rogers]

Здравствуйте! Я сейчас начал изучать Ландау и Лифшица. Сейчас читаю первый том и у меня периодически появляются вопросы. Сначала я хотел сразу много вопросов скинуть, но это, наверное, неудобно всем будет, поэтому я сначала первую порцию выдам :)
Я буду очень рад, если кто-нибудь поможет понять мне откуда что берется. Заранее спасибо!

Вопросы следующие (нумерация параграфов, формул и страниц по 5-му изданию, 2004 года).

1. В §1 утверждается, что задание обощенных координат и обобщенных скоростей полностью задает движение. Исходя из этого в §2 записывается функция Лагранжа как $L(q, \dot q, t)$. А откуда, собственно, это следует? Я как-то слышал, что существуют теории и с более высоким порядком производных в Лагранжиане (правда, это из серии "одна бабка сказала").
   
2. Избитый, наверное, вопрос. Но, все же, каков физический смысл принципа наименьшего действия вообще и лагранжианов в частности? Это просто более экономное утверждение по сравнению, скажем, с аксиомами динамики Ньютона, или же оно имеет более глубокий смысл? Всегда ли Лагранжева механика сводима к Ньютоновой? Я прикинул, вроде получается, что надо, чтобы $\frac{\partial^2 L}{\partial q^2} \ne 0$.
   
3. В §6 делается утверждение, что существуют некоторые аддитивные интегралы движения. Как показывается дальше, их три в общем случае. И в §9 утверждается, что других таких аддитивных интегралов движения не существует. Почему? Насколько я понимаю, это как-то связано с теоремой Нётер. Но если я правильно понимаю, теорема действует в прямом направлении: есть симметрия - есть сохраняющася величина. А она разве утверждает, что больше других нет? Не очень понятно, кстати, почему в ЛЛ-1 этой теоремы нет.
   
4. При выводе в §7 сохранения импульса берется сдвиг на бескоенечно малую величину (также и в §8 про момент). А если взять конечную? Вроде должно быть то же самое, но что-то это не очевидно, вроде.
   
5. С чем связано появление дополнительного интеграла в задаче Кеплера (§15). В смысле, ведь должно быть какое-то преобразование симметрии? Есть ли рецепт его обнаружения в общем случае?

[lek]

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

В §1 утверждается, что задание обощенных координат и обобщенных скоростей полностью задает движение. Исходя из этого в §2 записывается функция Лагранжа как . А откуда, собственно, это следует? Я как-то слышал, что существуют теории и с более высоким порядком производных в Лагранжиане (правда, это из серии "одна бабка сказала").

Из опыта и только...

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

Избитый, наверное, вопрос. Но, все же, каков физический смысл принципа наименьшего действия вообще и лагранжианов в частности? Это просто более экономное утверждение по сравнению, скажем, с аксиомами динамики Ньютона, или же оно имеет более глубокий смысл? Всегда ли Лагранжева механика сводима к Ньютоновой?

Более универсальный подход...

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

В §6 делается утверждение, что существуют некоторые аддитивные интегралы движения. Как показывается дальше, их три в общем случае. И в §9 утверждается, что других таких аддитивных интегралов движения не существует. Почему? Насколько я понимаю, это как-то связано с теоремой Нётер. Но если я правильно понимаю, теорема действует в прямом направлении: есть симметрия - есть сохраняющася величина. А она разве утверждает, что больше других нет? Не очень понятно, кстати, почему в ЛЛ-1 этой теоремы нет.

Точнее - 7. Из них 4 связаны с однородностью пространства-времени и 3 с изотропией пространства. Есть и другие, но они связаны (если ограничиться классической механикой) не со свойствами пространства-времени, а с динамическими симметриями.

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

При выводе в §7 сохранения импульса берется сдвиг на бескоенечно малую величину (также и в §8 про момент). А если взять конечную? Вроде должно быть то же самое, но что-то это не очевидно, вроде.

Так проще. Поскольку всякое конечное преобразование есть (бесконечная) последовательность инфинитезимальных...

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

С чем связано появление дополнительного интеграла в задаче Кеплера (§15). В смысле, ведь должно быть какое-то преобразование симметрии? Есть ли рецепт его обнаружения в общем случае?

Задача Кеплера допускает динамическую $O(4)$-симметрию. Поэтому наряду с 3-я компонентами момента импульса имеется 3 сохраняющиеся компоненты вектора Рунге-Ленца.

[Munin]

lek в сообщении #456830 писал(а):

Задача Кеплера допускает динамическую $O(4)$-симметрию.

Ну вы же новичку объясняете. Хотя бы распишите явно...

[Bulinator]

Roy Rogers в сообщении #456819 писал(а):

С чем связано появление дополнительного интеграла в задаче Кеплера (§15). В смысле, ведь должно быть какое-то преобразование симметрии? Есть ли рецепт его обнаружения в общем случае?

См. в Википедии.

[lek]

Munin в сообщении #456842 писал(а):

Ну вы же новичку объясняете. Хотя бы распишите явно...

Лучше дам ссылку:
Бакай А.С. Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты, 1981 (05350.djvu в электронной библиотеке мехмата). Параграф - 11 (стр. 70).

[Roy Rogers]

lek в сообщении #456830 писал(а):

Из опыта и только...

То есть это что-то типа аксиомы? А как же теории более высокого порядка? Они есть?

lek в сообщении #456830 писал(а):

Более универсальный подход...

А нельзя ли поподробнее? И что насчет связи Лагранжева подхода и ньютонова?

lek в сообщении #456830 писал(а):

Точнее - 7. Из них 4 связаны с однородностью пространства-времени и 3 с изотропией пространства.

Вы имеете в виду, что одна величина скалярная, а две - векторные, То есть 7 скаляров? Тогда да.

lek в сообщении #456830 писал(а):

Есть и другие, но они связаны (если ограничиться классической механикой) не со свойствами пространства-времени, а с динамическими симметриями.

А это что за зверь?

lek в сообщении #456830 писал(а):

Так проще. Поскольку всякое конечное преобразование есть (бесконечная) последовательность инфинитезимальных...

Это-то понятно. Вопрос в том, можно ли это технически показать для конечных сдвигов.

Bulinator в сообщении #456862 писал(а):

См. в Википедии.

Я там смотрел, но не совсем понял. Там еще квантовая механика приплетена, я немного путаюсь от этого.

lek в сообщении #456864 писал(а):

Лучше дам ссылку:
Бакай А.С. Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты, 1981 (05350.djvu в электронной библиотеке мехмата). Параграф - 11 (стр. 70).

Большое спасибо. Прочитаю.

[lek]

Roy Rogers, не пытайтесь на все свои вопросы получить исчерпывающие ответы здесь и сейчас. Гораздо полезнее будет разобраться во всем чуть позже, но самому. Первые 3 книги курса Ландау-Лифшица очень хороши. Они закладывает основы, но нельзя ограничиваться только ими. При изучении любого раздела физики надо иметь под рукой несколько книг. И тогда многое вы разберете самостоятельно. Поверьте, это будет гораздо полезнее... А среди книг по механике я посоветовал бы обратить внимание на:
Голдстейн Г. Классическая механика 1975 (04869.djvu)
Эту и многие други курсы можно найти по ссылке:
http://www.ph4s.ru/book_ph_kl_mex.html

[Munin]

Roy Rogers в сообщении #456869 писал(а):

То есть это что-то типа аксиомы?

В физике не аксиомы, а постулаты. Разница в том, что аксиомы можно выбирать произвольно, а постулаты - происходят из экспериментальных результатов и соответствуют им. Опыты с движением тел в механике показывают, что уравнения движения (aka Второй закон Ньютона) второго порядка, и соответственно того же порядка будет лагранжиан.

Roy Rogers в сообщении #456869 писал(а):

А это что за зверь?

Симметрии, относящиеся к конкретной динамике системы, то есть пока мы не зададим конкретные силы (или лагранжиан), мы этих симметрий не имеем. Например, в законе Гука потенциальная яма - чётная функция, но можно представить себе и такую потенциальную яму, которая не будет обладать этой симметрией.

lek в сообщении #456893 писал(а):

Эту и многие други курсы можно найти по ссылке

Начинать надо со ссылки на Колхоз
http://lib.homelinux.org/_djvu/_catalog/index_1.html
:-)

[Roy Rogers]

Munin, спасибо Вам за ответ.

Munin в сообщении #456939 писал(а):

Начинать надо со ссылки на Колхоз

Весьма признателен, но я в электронных библиотеках довольно хорошо ориентируюсь.

lek в сообщении #456893 писал(а):

Roy Rogers, не пытайтесь на все свои вопросы получить исчерпывающие ответы здесь и сейчас. Гораздо полезнее будет разобраться во всем чуть позже, но самому.

Видите ли, дело в том, что я изучаю сейчас всё это самостоятельно, а не в рамках каких-то курсов. Поэтому моё "потом" весьма туманно. Именно поэтому я обращаюсь (и, надеюсь, в дальнейшем буду продолжать обращаться) на этот форум. Обычно такие вопросы можно задать преподавателю, которого у меня нет. Поэтому я бы был рад, если бы здешние квалифицированные физики были бы, так сказать, в такой роли (если они не возражают). Я готов разбираться самостоятельно, особенно, если есть конкретные ссылки, на конкретные параграфы (одну такую Вы мне уже дали, за что я Вам очень благодарен). Но читать много книг именно по механике у меня просто времени нет, книга ЛЛ-1 - одна из станций в моем путевом листке, на которую отведено ограниченное время. Но я бы хотел за это время разобраться со всеми ключевыми вопросами. Был бы очень рад, если бы здесь мне пошли навстречу. Заранее благодарю за понимание и прошу прощения за, вероятно, не очень стандартную ситуацию, которая требует не очень стандартного подхода.

-- 11 июн 2011, 22:46 --

lek в сообщении #456893 писал(а):

А среди книг по механике я посоветовал бы обратить внимание на:
Голдстейн Г. Классическая механика 1975 (04869.djvu)

Мне в свое время еще присоветовали Арнольда. Она мне больше нравится. Там про симметрии неплохо изложено. Но ее, опять таки, целиком читать времени нет.

[lek]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #456939 писал(а):

Начинать надо со ссылки на Колхоз

Разница в том, что я даю ссылку на книги, которые находятся действительно в свободном доступе. Никаких регистраций, заходи и скачивай. Там же выложены и аннотации. Попасть же в Колхоз по первому разу бывает проблематично, да выбирать там надо знать из чего...

[Munin]

(Оффтоп)

lek в сообщении #456971 писал(а):

Разница в том, что я даю ссылку на книги, которые находятся действительно в свободном доступе. Никаких регистраций, заходи и скачивай.

Разницы нет, доступ свободный, никаких регистраций, заходи и скачивай.

lek в сообщении #456971 писал(а):

Попасть же в Колхоз по первому разу бывает проблематично,

Это возражение примерно того же уровня, как приравнивание капчи к платной регистрации.

lek в сообщении #456971 писал(а):

Там же выложены и аннотации. ...выбирать там (на Колхозе) надо знать из чего...

Да, с другой стороны, от наличия аннотаций эта проблема не исчезает.

Roy Rogers в сообщении #456964 писал(а):

я в электронных библиотеках довольно хорошо ориентируюсь.

Ну и замечательно.

Roy Rogers в сообщении #456964 писал(а):

Но читать много книг именно по механике у меня просто времени нет, книга ЛЛ-1 - одна из станций в моем путевом листке, на которую отведено ограниченное время.

"Огласите весь список, пожалуйста". Если мы будем знать, к чему вы стремитесь, то сможем порекомендовать что-то более соответствующее вашим целям.

В принципе, можете вообще скипнуть ЛЛ-1, и прочитать всё по Арнольду. Голдстейна Арнольд бьёт. Но если вы не намерены читать книгу целиком, надо тщательно отобрать необходимые параграфы, опять же, ориентируясь на ваши конечные цели.

[lek]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #456995 писал(а):

Разницы нет, доступ свободный, никаких регистраций, заходи и скачивай.

Раньше я как то обходился без Колхоза. Сегодня зашел по вашей ссылке - выскочило требование ввести логин и пароль...

Munin в сообщении #456995 писал(а):

"Огласите весь список, пожалуйста". Если мы будем знать, к чему вы стремитесь, то сможем порекомендовать что-то более соответствующее вашим целям.

Поддерживаю...

[Roy Rogers]

Munin в сообщении #456995 писал(а):

"Огласите весь список, пожалуйста". Если мы будем знать, к чему вы стремитесь, то сможем порекомендовать что-то более соответствующее вашим целям.

Здорово! Такой подход это то, что надо. Спасибо.
Так получилось, что я занимаюсь физикой, не имея специального образования. Для выполнения основной работы это не так, чтобы огромная проблема - специализированную литературу и статьи всегда можно почитать. Но вот с общей физической грамотностью у меня плохо. Поэтому я бы хотел восполнить эти пробелы в свободное время, не говоря уже о том, что это само по себе очень интересно. Исходя из этого за разумное время мне нужно набраться общей физической грамотности (с упором, в основном, на теорию поля и квантовую механику).Не то, чтобы я ничего не знаю - какие-то разрозненные сведения у меня есть (в свое время я читал и Арнольда и ЛЛ и много чего еще, но, в основном, урывками и несистематически), но я бы хотел построить для себя целостную картину с хорошим пониманием. Может быть не влезая очень глубоко в мелкие детали, но обязательно понимая важные и основные моменты.
Я решил, что за основу надо взять ЛЛ как классику (1, 2, 3, 5, затем, возможно какие-то еще тома) + какие-то дополнительные параграфы из других источников, если Вы мне их посоветуете, и небольшие периодические консультации на форуме.

Munin в сообщении #456995 писал(а):

В принципе, можете вообще скипнуть ЛЛ-1, и прочитать всё по Арнольду. Голдстейна Арнольд бьёт. Но если вы не намерены читать книгу целиком, надо тщательно отобрать необходимые параграфы, опять же, ориентируясь на ваши конечные цели.

Мне кажется, что лучше именно за основу ЛЛ с добавлением каких-то параграфов по Арнольду для формирования чуть более современного представления. Голдстейн, если честно, мне не очень по нутру - он мне немножко напоминает учебники по теоретической механике для инженеров (конечно, он гораздо более продвинутый), тем более по актуальности он практически ровесник ЛЛ-1. Читать его приятно, но, боюсь, что это, как раз, нецелевое расходование времени. Возможно, если потом смогу, я вернусь к нему и к другим книгам.

____________________

И, все-таки, если можно, мне бы хотелось получить какое-то представление (или, возможно, ссылки) по следующим оставшимся вопросам:

1. Есть ли теории с более высоким порядком входящих в Лагранжиан производных? И каков их смысл и назначение? Или это уже не классическая механика?
2. Физический смысл принципа наименьшего действия (если таковой имеется). Я уже понял, что это более общий подход, т.к. его можно и для поля, например, использовать, но это только этим и ограничивается? Или здесь закопана какая-то очень глубокая идея на самом деле?
3. Вопрос о сведении Лагранжевой механики к ньютоновой и соотношение моей версии этого дела. Или где можно об этом почитать? Может даже у Арнольда где-то есть.
4. Бьет ли теорема Нётер обратно? И если нет, то откуда следует, что других аддитивных интегралов нет?

С вектором Рунге-Ленца вроде разобрался.

[lek]

Roy Rogers в сообщении #457019 писал(а):

Есть ли теории с более высоким порядком входящих в Лагранжиан производных? И каков их смысл и назначение? Или это уже не классическая механика?

Есть. Их легко построить и даже проквантовать. Но такие теории уже не будут сводиться к ньютоновской механике. Поэтому высшие производные, если это необходимо, обычно учитываются при наложении на систему связей. Что касается физического смысла и назначения. Поскольку такая модификация лагранжиана не является необходимой, то никакого.

Roy Rogers в сообщении #457019 писал(а):

Физический смысл принципа наименьшего действия (если таковой имеется). Я уже понял, что это более общий подход, т.к. его можно и для поля, например, использовать, но это только этим и ограничивается? Или здесь закопана какая-то очень глубокая идея на самом деле?

Я бы не искал здесь скрытых идей и фундаментальных принципов. Принцип наименьшего действия связывает функцию Лагранжа (или лагранжиан) с уравнениями движения. Это связь позволяет более эффективно исследовать симметрии системы и легко модифицировать уравнения движения.

Roy Rogers в сообщении #457019 писал(а):

Вопрос о сведении Лагранжевой механики к ньютоновой и соотношение моей версии этого дела. Или где можно об этом почитать? Может даже у Арнольда где-то есть.

Сводится. Ваше условие не является необходимым. Тривиальный пример - функция Лагранжа свободно двигающейся материальной точки.

Roy Rogers в сообщении #457019 писал(а):

Бьет ли теорема Нётер обратно? И если нет, то откуда следует, что других аддитивных интегралов нет?

Первый вопрос непонятен. Да и второй тоже... По-видимому вы имеете ввиду интегралы движения, связанные со свойствами пространства-времени (т.е. не динамические аддитивные интегралы движения). Такие тоже есть. Достаточно перейти к релятивистской механике и заменить 7-параметрическую группу Галилея на 10-параметрическую группу Пуанкаре.

[bayak]

Roy Rogers в сообщении #457019 писал(а):

Физический смысл принципа наименьшего действия (если таковой имеется). Я уже понял, что это более общий подход, т.к. его можно и для поля, например, использовать, но это только этим и ограничивается? Или здесь закопана какая-то очень глубокая идея на самом деле?

Физики советуют Вам не задумываться над этим вопросом, но поскольку он Вас всё же интересует, то выскажу свою (не физическую) точку зрения Принцип наименьшего действия имеет глубокий философский смысл, который заключается в реализации в природе минимального потока движущейся материи. Под минимальностью потока я понимаю минимальность длины пути движущейся материи. Но вопрос о том где она движется пока остаётся открытым.