метрическое пространство

[Oleg Zubelevich]

$(X,d)$ -- метрическое пространство; $K\subseteq X$ -- компакт.

Последовательность Коши $\{x_n\}\subset X$ такова, что $d(x_n,K)\to 0$. Доказать, что эта последовательность имеет предел.

[мат-ламер]

А если мы компакт окружим замкнутой $\epsilon$-окрестностью, то получим ли мы компакт? По-видимому, да. Поскольку для этого нового множества для любого $\epsilon$ существует конечная $\epsilon$-сеть (которую можно взять из исходного компакта).

-- Вс июн 05, 2011 11:57:36 --

Но это я написал ерунду. Прошу не обращать внимание.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #454210 писал(а):

Последовательность Коши $\{x_n\}\subset X$ такова, что $d(x_n,K)\to 0$. Доказать, что эта последовательность имеет предел.

Непосредственно по определениям: взять последовательность $\{y_n\}\subset K$ такую, что $\rho(x_n,y_n)\to0$ и по подпоследовательности т.д.

[Kallikanzarid]

Расширю ответ ewert-а.

$d(x_n, K) = \inf_{y \in K} d(x_n, y)$. Но $\mathbb{R}$-функция на компакте достигает своих инфинума и супремума, следовательно найдется последовательность $\{y_n\} \subset K$ такая, что $d(x_n, K) = d(x_n, y_n) \to 0$.

Покажем, что $\{y_n\}$ - последовательность Коши. Действительно, для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N \in \mathbb{N},\ N > 0,$ такое, что для любого $n > N$ выполняется неравенство $d(x_n, y_n) < \varepsilon$. Аналогично, для любого $\varepsilon > 0$ найдется $M \in \mathbb{N},\ M > 0,$ такое, что для любого $m > M$ и для любого $p \in \mathbb{N},\ p > 0$ выполняется неравенство $d(x_n, x_{n+p}) < \varepsilon$. Следовательно для любого $n > \max\{N, M\}$ и для любого $p \in \mathbb{N}, p > 0$ выполняется неравнество

$$d(y_n, y_{n+p}) \leq d(y_n, x_n) + d(y_{n+p}, x_n) \leq d(y_n, x_n) + d(y_{n+p}, x_{n+p}) + d(x_n, x_{n+p}) < 3 \varepsilon,$$

откуда немедленно получаем искомое.

Таким образом, последовательность $\{y_n\} \subset K$ - последовательность Коши. Но в компактном метрическом пространстве каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, следовательно существует предел $\lim y_{n_k} =: y$ некоторой подпоследовательности $\{y_{n_k}\}$ и, следовательно, всей последовательности $\{y_n\}$. Из неравенства $d(x_n, y) \leq d(x_n, y_n) + d(y_n, y)$ непосредственно следует, что $y$ - это также предел последовательности $\{x_n\}$. Утверждение доказано.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #455190 писал(а):

на компакте достигает своих инфинума и супремума,

Это лишнее и вообще как-то долго. Независимо от теоремы Вейерштрасса: для каждого $n$ существует такое $y_n\in K$, что $\rho(x_n,y_n)\leqslant2\mathop\mathrm{dist}(x_n,K)\to0$ -- просто по определению расстояния до множества. Некоторая подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$ сходится к некоторому $z$; тогда к нему же сходится и подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$, поскольку $\rho(x_{n_k},z)\leqslant\rho(x_{n_k},y_{n_k})+\rho(y_{n_k},z)\to0$. Однако фундаментальная последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда имеет предел хоть одна её подпоследовательность.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #456870 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #456808 писал(а):

Я думаю, что многим эта задача была бы интересна. Только мы теперь это не узнаем, по причине бессмысленных действий модератора.

Так мы и так вряд ли что узнали бы. Вот Вы там параллельно недавно запостили задачку про компакт -- и так и не откликнулись. А мне, между прочим, любопытно: какую всё-таки компактность Вы имели в виду?... Если секвенциальную, то утверждение очевидно. Если топологическую, то -- неверно.

Канторович Акилов, Функциональный Анализ:

[Someone]

(Оффтоп)

Я не понял, почему это в олимпиадном разделе. Это учебная задача для студентов, начинающих изучать топологию.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Someone
а я не понял почему такой крупный эксперт не разу не высказался по поводу содержательных задач из числа тех, что я выкладывал
почему Вы относительно этой задачи topic46505.html не возмущаетесь? она тоже тривиальна

[Someone]

(Оффтоп)

Я олимпиадным разделом вообще не интересуюсь и почти не заглядываю сюда. В Вашу тему заглянул только потому, что в другом разделе была сюда ссылка на топологическую задачу, а я тополог. В частности, эту задачу я решал, когда начал на третьем курсе изучать топологию.
Называть меня "крупным экспертом" не следует.

[Oleg Zubelevich]

SomeoneКстати, когда я придумывал эту задачу про метрическкие пространства, я хотел получить утверждение, которое доказывалось бы существенно с помощью процедуры пополнения, но не получилочсь. Вы знаете такие задачи на метрические пространства?

[Someone]

(Оффтоп)

Нет, не знаю. Я метрическими пространствами мало занимался.

[Kallikanzarid]

Someone в сообщении #456937 писал(а):

(Оффтоп)

Я не понял, почему это в олимпиадном разделе. Это учебная задача для студентов, начинающих изучать топологию.

(Оффтоп)

Наоборот, это приятное разбавление унылых задач Ксении

Еще бы парочку задач на теорию категорий...