2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 линейные операторы
Сообщение05.06.2011, 14:36 
$X,Y$ -- линейные нормированные пространства. $X',Y'$ -- соответствующие топологически сопряженные.
$A:X\to Y$ -- линейные оператор. $A^*$ -- алгебраически сопряженный.

Доказать, что если $A^*(Y')\subseteq X'$ то $A$ -- непрерывен.

 
 
 
 Re: линейные операторы
Сообщение11.06.2011, 20:39 
Идея простая.

$A^*\omega := \omega \circ A$. Задачу можно переформулировать следующим образом:

Пусть $A: X \to Y$ - линейный оператор. Доказать, что если для любого непрерывного $\omega \in Y'$ $\omega \circ A$ непрерывно, то $A$ непрерывен.

Достаточно для произвольного не непрерывного $A$ построить непрерывный $\omega$ такой, что $\omega \circ A$ не непрерывен.

Пусть $\varepsilon > 0$. Рассмотрим функцию $x(\delta)$ такую, что $\|x(\delta)\| < \delta$, но $\|Ax(\delta)\| > \varepsilon$; иными словами, $x(\delta)$ сходится к нулю при $\delta \to 0$, но $Ax(\delta)$ не сходится к нулю. Построим такой непрерывный линейный функционал $\omega \in Y'$, что $\omega(Ax(\delta))$ не сходится к нулю. Вот тут я в тупике, произвольные нормированные пространства не такие хорошие, чтобы легко это сделать. Есть идея рассмотреть функционал $$\alpha_e(y) := \operatorname*{arg\,inf}_{\beta \in K}\|y - \beta e\|,$$ но я пока не знаю, линеен ли он и найдется ли такое $e \in Y$, что $\alpha_e$ будет удовлетворять нужному условию.

 
 
 
 Re: линейные операторы
Сообщение11.06.2011, 21:29 
Стандартный факт: подмножество нормированного пространства ограничено тогда и только тогда когда оно слабо ограничено.

 
 
 
 Re: линейные операторы
Сообщение11.06.2011, 22:51 
ОК, буду думать :)

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group